Question

Помогите решить СРОЧНО!!!!В остроугольном треугольнике проведены высоты. Каждая из высот в пересечении с описанной окружностью образует хорду. Докажите, чтосередины этих трёх хорд являются вершинами треугольника, подобногоисходному.ДАЮ 100 БАЛЛОВ!!!

Answer 1

1) Все середины хорд, проходящих через точку внутри окружности (пусть это точка H, пока не важно, что это ортоцентр ΔABC) лежат на  окружности, построенной на отрезке OH, как на диаметре. См. чертеж, О - центр большой окружности.

Например, хорда СС3, середина С2, угол OC2H прямой, так как диаметр, который делит хорду пополам, перпендикулярен ей. Поэтому С2 лежит на указанной окружности. Это справедливо для любой хорды, проходящей через точку H

2) Таким образом, если соединить середины хорд AA3, BB3 и CC3, то получится ΔA2B2C2, вписанный в окружность, построенную на отрезке ОН, как на диаметре. Разумеется, на этой окружности лежат и точки O и H.

3) Поскольку в этой задаче точка H - ортоцентр ΔABC, очень легко установить соответствие между углами ΔABC и ΔA2B2C2.

Проще всего увидеть, что  ∠A2B2C2 =∠ABC, так как оба составляют 180° в сумме с ∠C1HA1.

В самом деле, четырехугольник B2C2HA2 вписанный, поэтому ∠A2B2C2 + ∠C1HA1 = 180°,

В четырехугольнике BC1HA1 два угла прямые, поэтому сумма двух других углов тоже 180°

∠ABC + ∠C1HA1=180°,

Поэтому ∠ABC = ∠A2B2C2;

4) ∠B2C2A2 = ∠B2HA2 оба угла вписаные и опираются на одну и ту же дугу. Поэтому ∠B2C2A2 = 180° - ∠B1HA1 = ∠BCA; последнее равенство справедливо по такой же причине, что и в пункте 3) -  в четырехугольнике BC1HA1 два угла прямые, поэтому сумма двух других углов тоже 180°.

Поскольку два угла  ΔABC и ΔA2B2C2 равные, эти треугольники подобны, чтд

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобится несколько вспомогательных утверждений: 1. В остроугольном треугольнике каждая высота является биссектрисой и медианой. 2. В остроугольном треугольнике ортоцентр и центр описанной окружности лежат на одной прямой с вершиной угла, противолежащей этой вершине. 3. Для любой хорды окружности, проходящей через середину другой хорды, эти две хорды равны. Теперь докажем, что середины трех хорд, образованных высотами остроугольного треугольника, являются вершинами треугольника, подобного исходному. Пусть треугольник ABC - исходный остроугольный треугольник, а D, E и F - середины хорд, образованных высотами, проходящими через вершины A, B и C соответственно. Согласно утверждению 1, высота из вершины A является биссектрисой и медианой треугольника ABC. Поэтому точка пересечения хорды, образованной высотой из вершины A с описанной окружностью, и описанной окружности треугольника ABC, лежат на биссектрисе угла A (утверждение 2). Таким образом, точка пересечения хорды DE с описанной окружностью лежит на биссектрисе угла A. Аналогично, точки пересечения хорд EF и FD с описанной окружностью лежат на биссектрисах углов B и C соответственно. Из утверждения 3 следует, что хорды DE, EF и FD равны. Аналогично, хорды, образованные высотами из вершин B и C, также равны хорде DE. Таким образом, треугольник DEF - треугольник, подобный треугольнику ABC, так как у них соответствующие стороны пропорциональны. Ответ: Середины трех хорд, образованных высотами остроугольного треугольника, являются вершинами треугольника, подобного исходному.