Question

Решить линейные дифференциальные уравнения первого порядка: 1) y' + 2y = x 2) y' = (5x + y)/x 3) 9yy' = 1/()

Answer 1

Ответ: 1)х-3у=0

Пошаговое объяснение:

1)у+2у=х

3у=х

3у-х=0

-х+3у=0

х-3у=0

Answer 2

1) Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка y' + 2y = x, можно использовать метод вариации постоянной. Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения y' + 2y = 0. Это уравнение имеет вид y' = -2y. Решение данного уравнения - экспоненциальная функция y_h = Ce^(-2x), где С - произвольная постоянная. Теперь ищем частное решение неоднородного уравнения в виде y_p = Ax + B, где А и В - неизвестные коэффициенты. Подставляем это выражение в исходное уравнение и находим значения А и В: y_p' + 2y_p = A + 2(Ax + B) = A + 2Ax + 2B = x. Сравнивая коэффициенты при x с обеих сторон равенства, получаем систему уравнений: 2A = 1 2B + A = 0. Решая данную систему, находим A = 1/2 и B = -1/4. Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p = (1/2)x - 1/4. Теперь складываем общее решение однородного уравнения y_h = Ce^(-2x) и частное решение неоднородного уравнения y_p = (1/2)x - 1/4: y = y_h + y_p = Ce^(-2x) + (1/2)x - 1/4, где C - произвольная постоянная. 2) Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка y' = (5x + y)/(x + 3), можно также использовать метод вариации постоянной. Для начала приведем уравнение к виду y' = (5(x + 3) + y)/(x + 3). Общее решение соответствующего однородного уравнения y' = y/(x + 3) имеет вид y_h = C(x + 3), где С - произвольная постоянная. Теперь ищем частное решение неоднородного уравнения в виде y_p = A(x + 3), где А - неизвестный коэффициент. Подставляем это выражение в исходное уравнение и находим значение А: A(x + 3)' = (5(x + 3) + A(x + 3))/(x + 3) A = 5. Итак, частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p = 5(x + 3). Теперь складываем общее решение однородного уравнения y_h = C(x + 3) и частное решение неоднородного уравнения y_p = 5(x + 3): y = y_h + y_p = C(x + 3) + 5(x + 3) = (C + 5)(x + 3), где C - произвольная постоянная. 3) Чтобы решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка 9yy' = 1/(y), можно воспользоваться методом разделения переменных. Сначала умножим обе части уравнения на y: 9y^2y' = 1. Теперь разделим обе части уравнения на 9y^2: y' = 1/(9y^2). Затем переместим уравнение, чтобы y^2 было в знаменателе: y' = 1/(9y^2). Проведем замену переменных, введя новую переменную v = y^(-1), тогда y' = -v'/(v^2). Подставим данную замену в уравнение: -v'/(v^2) = 1/(9v). Умножим обе части уравнения на v^2: -v' = 1/9. Интегрируем обе части уравнения: -∫v'dv = ∫(1/9)dx. Интегрируем: -v = x/9 + C. Теперь найдем выражение для y через переменную v: y = v^(-1). Итак, y = (-x/9 - C)^(-1), где C - произвольная постоянная. Заметим, что y не может быть равно нулю, так как y = 1/v, а v - переменная, отличная от нуля. Итак, решение данного уравнения имеет вид y = (-x/9 - C)^(-1), где C - произвольная постоянная и y отлично от нуля.