Question

dy/dx-2y-3=0 Срочно! Помогите решить пожалуйста. Тема :Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Answer 1

dy/dx = 2y + 3 — уравнение с разделяющимися переменными

dy/(2y+3) = dx

Интегрируя обе части уравнения, получим

1/2 * ln|2y+3| = x + C — общий интеграл

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение первого порядка является линейным и однородным. Чтобы решить его, можно использовать метод вариации постоянной.

Шаг 1: Найдите общее решение соответствующего однородного уравнения:

dy/dx - 2y = 0

Это уравнение можно решить, разделив переменные:

dy/y = 2dx

Интегрируем обе стороны:

ln|y| = 2x + C1

где C1 - произвольная постоянная.

Применяем экспоненциальную функцию к обеим сторонам уравнения:

|y| = e^(2x + C1)

Поскольку мы не знаем знак функции y, то можем убрать модуль:

y = ±e^(2x + C1)

Шаг 2: Найдите частное решение неоднородного уравнения. Для этого предположим, что y может быть представлено в виде:

y = u(x)e^(2x)

Тогда dy/dx = u'(x)e^(2x) + 2u(x)e^(2x).

Подставляем это в исходное уравнение:

(u'(x)e^(2x) + 2u(x)e^(2x)) - 2u(x)e^(2x) - 3 = 0

u'(x)e^(2x) = 3

u'(x) = 3e^(-2x)

Интегрируем обе стороны:

∫u'(x) dx = ∫3e^(-2x) dx

u(x) = ∫3e^(-2x) dx

Вычислим интеграл:

u(x) = -3/2 * e^(-2x) + C2

где C2 - ещё одна произвольная постоянная.

Шаг 3: Общее решение неоднородного уравнения получается подстановкой найденного частного решения в формулу:

y = u(x)e^(2x)

y = (-3/2 * e^(-2x) + C2) * e^(2x)

y = -3/2 + C2 * e^(2x)

где C2 - произвольная постоянная.

Итак, общее решение исходного дифференциального уравнения dy/dx - 2y - 3 = 0:

y = -3/2 + C2 * e^(2x), где C2 - произвольная постоянная.