Question

Знайти частинні розв'язки рівнянь які задовольняють початковим умовам y''+9y=sin3x y(0)=y'(0)=1

Answer 1

Відповідь: я

Покрокове пояснення:

Explanation:

y

'

'

+

9

y

=

0

is a linear homogeneous differential equation with constant parameters. The general solution for an equation of this kind is

y

=

e

λ

x

substituting we get

(

λ

2

+

9

)

e

λ

x

=

0

but

e

λ

x

≠

0

for all

x

∈

R

so

λ

2

+

9

=

0

⇒

λ

=

±

3

i

so

y

=

C

1

e

3

i

x

+

C

2

e

−

3

i

x

but using the de Moivre's identity

e

i

x

=

cos

x

+

i

sin

x

and assuming that the solution is real, we easily could establish analogously

y

=

C

3

sin

(

3

x

)

+

C

4

cos

(

3

x

)

Answer link

Cem Sentin

Dec 16, 2017

y

=

c

1

⋅

cos

3

x

+

c

2

⋅

sin

3

x

Explanation:

If

y

1

=

sin

3

x

i solution of this differential equation, I used

y

=

u

sin

3

x

and

y

'

'

=

u

'

'

sin

3

x

+

6

u

'

cos

3

x

−

9

u

sin

3

x

transformation.

Hence,

u

'

'

sin

3

x

+

6

u

'

cos

3

x

−

9

u

sin

3

x

+

9

u

sin

3

x

=

0

u

'

'

sin

3

x

+

6

u

'

cos

3

x

=

0

It reduced to linear differential equation in terms of

u

'

Consequently,

u

'

'

u

'

+

6

cos

3

x

sin

3

x

=

0

After integrating both sides,

ln

u

'

+

2

ln

(

sin

3

x

)

=

ln

(

−

3

c

1

)

ln

[

u

'

⋅

(

sin

3

x

)

2

]

=

ln

(

−

3

c

1

)

u

'

⋅

(

sin

3

x

)

2

]

=

−

3

c

1

u

'

=

−

3

c

1

(

sin

3

x

)

2

After integrating both sides,

u

=

c

1

⋅

cot

3

x

+

c

2

Thus,

y

=

u

sin

3

x

=

sin

3

x

⋅

(

c

1

⋅

cot

3

x

+

c

2

)

=

c

1

⋅

cos

3

x

+

c

2

⋅

sin

3

x

Answer link

Answer 2

Розв'язати дане диференціальне рівняння вигляду y'' + 9y = sin(3x) з початковими умовами y(0) = y'(0) = 1. Спочатку знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння y'' + 9y = 0. Характеристичне рівняння має вигляд r^2 + 9 = 0. Корені характеристичного рівняння: r1 = 3i і r2 = -3i. Отже, загальний розв'язок однорідного рівняння: y_h = c1*cos(3x) + c2*sin(3x), де c1 та c2 - це довільні сталі. Тепер знайдемо частковий розв'язок нерівняння. Зглядно бачимо, що sin(3x) є розв'язком нерівняння y'' + 9y = sin(3x). Із методу варіації довільних сталих можна припустити, що шуканий частковий розв'язок має вигляд y_p = A*sin(3x) + B*cos(3x), де A та B - це невідомі константи. Підставляючи y_p у рівняння, отримуємо: (9A*cos(3x) - 9B*sin(3x)) + 9(A*sin(3x) + B*cos(3x)) = sin(3x). Зведення подібних додасть до нерівняння 18A*cos(3x) + 18B*sin(3x) = sin(3x). Звідси випливає, що 18A = 0 та 18B = 1. Отже, A = 0 та B = 1/18. Таким чином, частковий розв'язок має вигляд y_p = (1/18)*cos(3x). Загальний розв'язок рівняння y'' + 9y = sin(3x) має вигляд y = y_h + y_p = c1*cos(3x) + c2*sin(3x) + (1/18)*cos(3x). Залишилося знайти значення констант c1 та c2, використовуючи початкові умови. За умовою задачі, y(0) = y'(0) = 1. Підставимо x = 0 у загальний розв'язок рівняння: y(0) = c1*cos(0) + c2*sin(0) + (1/18)*cos(0) = c1 + 0 + (1/18)*1 = 1. Отримуємо рівняння c1 + (1/18) = 1. Звідси c1 = 17/18. Тепер знайдемо значення похідної: y'(x) = -3*c1*sin(3x) + 3*c2*cos(3x) - (1/18)*3*sin(3x). y'(0) = -3*c1*sin(0) + 3*c2*cos(0) - (1/18)*3*sin(0) = -3*c1 + 3*c2 + 0 = 1. З рівняння -3*c1 + 3*c2 = 1. Підставимо значення c1 = 17/18 у рівняння: -3*(17/18) + 3*c2 = 1. Звідси отримуємо значення c2: -51/18 + 3*c2 = 1. 3*c2 = 19/18. Отже, c2 = 19/54. Остаточно, частинні розв'язки рівняння y'' + 9y = sin(3x) з заданими початковими умовами y(0) = y'(0) = 1 мають вигляд: y(x) = (17/18)*cos(3x) + (19/54)*sin(3x).