Question

Розв'язати диференціальне рівняння і знайдіть частинні розв’язки які задовольняють даним умовам: ydx + ctgxdy = 0, y = -1 при х = п /3.​

Answer 1

Ответ:

Розв'язок на фото.......

Answer 2

Ответ:y = -sin(x) або y = sin(x)

Пошаговое объяснение:

Почнемо з розділення змінних:

ydx + ctg(x)dy = 0

Перенесемо y відносно dy, а ctg(x) відносно dx та інтегруємо:

∫(1/y)dy = -∫ctg(x)dx

ln|y| = -ln|sin(x)| + C

де C - довільна стала.

Застосуємо початкову умову y = -1 при x = π/3:

ln|-1| = -ln|sin(π/3)| + C

ln(1) = -ln(√3/2) + C

0 = -ln(√3/2) + C

C = ln(√3/2)

Отже, загальний розв'язок диференціального рівняння має вигляд:

ln|y| = -ln|sin(x)| + ln(√3/2)

ln|y| = ln(√3/2) / |sin(x)|

y = ± (√3/2) / sin(x)

Застосовуючи умову y = -1 при x = π/3, маємо:

-1 = ± (√3/2) / sin(π/3)

-1 = ± (√3/2) / (√3/2)

-1 = ± 1

Тому частинні розв'язки, які задовольняють умовам, мають вигляд:

y = -sin(x) або y = sin(x)

Answer 3

Для початку, давайте розглянемо задане диференціальне рівняння:

ydx + ctg(x)dy = 0

Щоб розв'язати це рівняння, спробуємо знайти його точній інтеграл. Для цього порівняємо похідні від ydx і ctg(x)dy:

d(y) = ctg(x)dx

Інтегруючи обидві частини, отримаємо:

∫d(y) = ∫ctg(x)dx

y = ln|sin(x)| + C1

Тепер, ми повинні знайти значення константи C1, використовуючи початкову умову y = -1 при x = п/3:

-1 = ln|sin(п/3)| + C1

Ми знаємо, що sin(п/3) = √3/2, тому:

-1 = ln|√3/2| + C1

-1 = ln(√3/2) + C1

Тепер, знайдемо значення ln(√3/2) та обчислимо C1:

C1 = -1 - ln(√3/2)

Таким чином, частинний розв'язок, який задовольняє задану умову, є:

y = ln|sin(x)| - ln(√3/2) - 1