Question

Вычислить интеграл способом подстановки ₁ ∫4x(2x²+3)²*dx ⁰

Answer 1

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться методом подстановки. Для этого сделаем замену:

u = 2x² + 3

Тогда:

du/dx = 4x

dx = du/4x

Подставим это в исходный интеграл:

∫4x(2x²+3)²*dx = ∫u² * du/2

Решим этот интеграл:

∫u² * du/2 = u³/6 + C = (2x² + 3)³/6 + C

Ответ: (2x² + 3)³/6 + C.

Answer 2

₁ ∫4x(2x²+3)²dx = ∫u²du ⁰
Теперь мы можем вычислить этот определенный интеграл:
∫u²*du = u³/3 + C
Так как это определенный интеграл, нам нужно подставить верхнюю и нижнюю границы интегрирования:
₁ ∫4x(2x²+3)²*dx = (u³/3)|₀¹ = (2x² + 3)³/3|₀¹ ⁰
Теперь мы можем вычислить значение этого выражения:
(2x² + 3)³/3|₀¹ = ((21² + 3)³/3) - ((20² + 3)³/3) = (35/3) - (27/3) = 8/3
Ответ: 8/3

Answer 3

Для вычисления данного интеграла использовать метод подстановки требуется заменить выражение внутри скобок на новую переменную. Для этого проведем следующую замену: u = 2x² + 3 Найдем производную этой замены по x: du/dx = 4x Выразим dx через du: dx = du / (4x) Заменим выражение в интеграле с помощью новых переменных: ∫4x(2x²+3)²*dx = ∫u² * (du / (4x)) Делим числитель и знаменатель на 4x: = (1/4) * ∫u² * du Раскрываем квадрат в интеграле: = (1/4) * ∫u^2 * du Теперь легко вычислить этот интеграл: = (1/4) * (u^3 / 3) + C Заменим обратно u на исходное выражение: = (1/4) * ((2x² + 3)^3 / 3) + C Таким образом, итоговый ответ равен: (1/12) * (2x² + 3)^3 + C, где C - произвольная постоянная.