Question

При каких значениях параметра а уравнение (a+5)x^2 + (2a-3)x+(a-10)=0 имеет корни одного знака На листочке и подробно, пожалуйста. Очень хочу разобраться

Answer 1

Дано уравнение (a + 5)x^2 + (2a - 3)x + (a - 10) = 0.

При каких значениях параметра а оно имеет корни одного знака?

1) Если a = -5, то коэффициент при x^2 равен нулю и мы получаем просто линейное уравнение, у которого только 1 корень.

Значит, а ≠ -5.

2) Поделим все уравнение на (а + 5) чтобы получить приведенное уравнение.

x^2 + ((2a - 3)/(a + 5))x + ((a - 10)/(a + 5)) = 0.

Квадратное уравнение имеет корни один. знаков , тогда произведение этих корней должно быть положительно, а значит и по теореме Виета свободный член должен быть положительным , то есть:

 (a - 10)/(a + 5) > 0.

Числитель и знаменатель должны быть одного знака.

Получаем при наложении промежутков: a > 10, a < -5.

Дополним еще условием существования 2-х корней: D > 0.

4a² - 12a + 9 - 4a² - 20a + 40a + 200 > 0,

8a + 209 > 0,

a > -209/8.

Пересекаем полученные решения, получаем ответ:

а ∈ ((-209/8); -5) ∪ (10; +∞)).

Answer 2

Для того чтобы уравнение квадратного трёхчлена имело корни одного знака, необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был либо отрицательным, либо равным нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac, где a, b и c - коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. В вашем уравнении a = (a + 5), b = (2a - 3), и c = (a - 10). Теперь, мы можем записать уравнение для дискриминанта: D = [(2a - 3)^2] - 4(a + 5)(a - 10) Сначала упростим выражение (2a - 3)^2: D = (4a^2 - 12a + 9) - 4(a^2 - 10a + 5a - 50) Теперь раскроем скобки и упростим дискриминант: D = 4a^2 - 12a + 9 - 4a^2 + 40a - 20 - 4a^2 + 40a - 200 Далее сгруппируем подобные члены: D = 4a^2 - 4a^2 - 4a^2 + 9 + 40a + 40a - 12a D = 13a Теперь, чтобы уравнение имело корни одного знака, дискриминант D должен быть отрицательным или равным нулю: 1. D < 0: Если 13a < 0, то это значит, что a должно быть отрицательным. 2. D = 0: Если 13a = 0, то a должно равняться нулю. Таким образом, чтобы уравнение имело корни одного знака, значение параметра a должно быть отрицательным или равным нулю.