Question

Найти производную f(x)=x^2

Answer 1

Ответ: 2x

Пошаговое объяснение: Продифференцируем по правилу дифференцирования степенной функции, согласно которому $\frac{d}{dx}[x^n]$ равняется $nx^{n-1}$, где $n=2$.

Ответ: 2x

Answer 2

Производная функции f(x)=x^2 f ( x) = x 2 по определению равна пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

f ′(x) = lim h→0 f(x+h)−f(x) h f ′ ( x) = lim h → 0 f ( x + h) − f ( x) h

Подставим в эту формулу функцию f(x)=x^2 f ( x) = x 2 и упростим выражение:

f ′(x) = lim h→0 (x+h)2−x2 h = lim h→0 x2+2xh+h2−x2 h = lim h→0 2xh+h2 h = lim h→0 2x+h f ′ ( x) = lim h → 0 ( x + h) 2 − x 2 h = lim h → 0 x 2 + 2 x h + h 2 − x 2 h = lim h → 0 2 x h + h 2 h = lim h → 0 2 x + h

Так как приращение аргумента стремится к нулю, то последнее слагаемое можно опустить, и получим окончательный ответ:

f ′(x) = 2x f ′ ( x) = 2 x

Это значит, что производная функции f(x)=x^2 f ( x) = x 2 есть функция, которая в каждой точке равна удвоенному значению аргумента. Геометрически это означает, что касательная к графику функции f(x)=x^2 f ( x) = x 2 в точке с абсциссой x x имеет угловой коэффициент, равный 2x 2 x.

Если вы хотите проверить свой ответ или увидеть более подробное решение, вы можете использовать один из онлайн-калькуляторов производных, например [Wolfram|Alpha](https://ru.wolframalpha.com/calculators/derivative-calculator), [MathDF](https://mathdf.com/der/ru/), [Calculator Online](https://calculator-online.net/ru/derivative-calculator/), [Math Solution](https://www.math-solution.ru/math-task/derivative), или [Symbolab](https://ru.symbolab.com/solver/derivative-point-calculator). Они позволяют вводить функции на естественном языке и показывают пошаговое дифференцирование.