Question

Доказать, что число 11^57-7^57 делится на 247

Answer 1

11^3=1331

7^3=343

1331 = 343 (mod 247) - оба числа при делении на 247 дают в остатке 96

возведем левую и правую часть в 19 степень:

11^57 = 7^57 (mod 247) - получаем что нужно

Answer 2

Чтобы доказать, что число \(11^{57} - 7^{57}\) делится на 247, мы можем использовать теорему о вычетах или установить связь между этим выражением и числом 0. Для начала, заметим, что \(247 = 13 \cdot 19\), поэтому нам будет достаточно доказать, что данное выражение делится и на 13, и на 19. Для 13 мы можем использовать небольшую теорему Ферма, которая говорит, что если \(a\) — целое число, не делящееся на простое число \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\). В нашем случае \(11 \not\equiv 0 \pmod {13}\), поэтому \(11^{12} \equiv 1 \pmod{13}\). Таким образом, \(11^{57} \equiv 11 \pmod{13}\). Аналогично, \(7^{12} \equiv 1 \pmod{13}\), поэтому \(7^{57} \equiv 7 \pmod{13}\). Тогда \(11^{57} - 7^{57} \equiv 11 - 7 \equiv 4 \pmod{13}\), что означает, что число \(11^{57} - 7^{57}\) делится на 13. Для 19 мы можем также использовать теорему Ферма, но здесь \(11^{18} \equiv 7^{18} \equiv 1 \pmod{19}\), так как 11 и 7 — оба не делятся на 19. Тогда \(11^{57} - 7^{57} \equiv 11^{3} - 7^{3} \equiv 1331 - 343 \equiv 988 \pmod{19}\), что означает, что число \(11^{57} - 7^{57}\) делится на 19. Таким образом, число \(11^{57} - 7^{57}\) делится и на 13, и на 19, что, в свою очередь, означает, что оно делится на 247.