Question

Помогите пожалуйста. Нужно решение. ∑ (от n=1 до ∞) ( 2+n)/(4+n^2+n)

Answer 1

Ответ:1. Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

      ∞                                                        ∞

                  1                                                  nn

 1)   ∑2

      n =1

             n

                 (n + 2)

                                                      2)   ∑ ( n! )

                                                           n =1

                                                                          2

                                                               ∞

       ∞                   2n

                                                                   sin 2 n

 3)   ∑

    n =1

          ⎛ n ⎞

         n⎜        ⎟

          ⎝ 3n − 1 ⎠

                                                      4)   ∑ n 2 +1

                                                           n=1

2. Исследовать сходимость знакопеременного ряда. Если он сходится,

  то указать абсолютно или условно.

                                ∞

                                                       π

                                ∑ (−1) n ⋅ tg 4

                                n =1                       n

3. Найти область сходимости степенного ряда.

                                 ∞

                                            n!

                                 ∑n + 2(x +1)

                                 n=1

                                        2

                                                           n

4. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням х . Указать интервал,

  в котором это разложение имеет место.

                                                 6

                                     8 + 2 х − х2

5. Вычислить интеграл с точностью до 0,001.

                          1

                                                 dx

                                    ∫

                                    0

                                        3

                                            8 + x3

6. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной

  ряд решения y = y (x) дифференциального уравнения,

  удовлетворяющего данному начальному условию y (0) = a .

                        x    2

                      y ′ = e + y ; y(0) = 0

7. Данную функцию f (x) разложить в ряд Фурье в данном интервале.

  Построить график функции f (x) и график суммы ряда Фурье

                       f ( x ) = x 2 + 1 , ( −2 < x < 2)

                                     33

               

Answer 2

Данное выражение является бесконечной суммой. Давайте разберемся, как его решить. Выражение представляет собой сумму от n=1 до бесконечности от (2n)/(4+n^2+n). Для начала, давайте упростим это выражение. Выражение (2n)/(4+n^2+n) можно разложить на две дроби: 2n/(n^2+n+4) = A/n + B/(n+4), где A и B - некоторые константы, которые мы должны найти. Чтобы найти значения A и B, мы можем привести выражение к общему знаменателю и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях n. Получим следующее: 2n = A(n+4) + Bn Раскроем скобки и сгруппируем одинаковые степени n: 2n = (A+B)n + 4A Поскольку коэффициенты при одинаковых степенях должны быть равными, мы можем приравнять коэффициенты при n и свободные члены: A + B = 2 4A = 0 Отсюда следует, что A = 0. Заменив A в первом уравнении, получим: 0 + B = 2 B = 2 Теперь мы знаем, что A = 0 и B = 2, поэтому мы можем записать начальное выражение в виде суммы двух дробей: (2n)/(4+n^2+n) = 0/n + 2/(n+4) Теперь мы можем выразить данное выражение в виде суммы: ∑(от n=1 до ∞) ((2n)/(4+n^2+n)) = ∑(от n=1 до ∞) (0/n + 2/(n+4)) Для решения этой суммы, нам понадобится знание ряда гармонического числа. Ряд гармонического числа определяется следующим образом: H(n) = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n Известно, что ряд гармонического числа H(n) сходится медленно и расходится, когда n стремится к бесконечности. Поэтому, чтобы определить, сходится ли данная сумма, нам нужно изучить сходимость ряда гармонического числа. Таким образом, данная сумма расходится. **Обратите внимание:** Данный ответ является математическим решением вашего вопроса. Если вам требуется численное приближение для этой суммы, то вам потребуется использовать численные методы, такие как метод Монте-Карло или численное интегрирование, чтобы приближенно оценить значение суммы.