Question

Стороны треугольника равны корень из 5 и корень из 8 и 3. найдите высоту BH

Answer 1

Треугольник АВС
Высота ВН делит его на два прямоугольных треугольника АВН и СВН, где АВ и ВС - гипотенузы.
Примем АН за х.
Тогда СН = АС-х
Составляем два уравнения:
Для треугольника АВН:
ВН^2 = АВ^2 - х^2
Для треугольника СВН:
ВН^2 = ВС^2 - (АС -х)^2

Так как левые части этих уравнений равны, то равны и правые.
АВ^2 - х^2 = ВС^2 - (АС -х)^2
АВ^2 - х^2 - ВС^2 + АС^2 -2АС•х + х^2 = 0
2х•АС = АВ^2 - ВС^2 + АС^2
х = (АВ^2 - ВС^2 + АС^2) / 2АС

Тогда значение х можно вставить в уравнение:

ВН^2 = АВ^2 - х^2
ВЕ^2 = АВ^2 - ((АВ^2 - ВС^2 + АС^2) / 2АС)^2

Осталось подставить значения сторон треугольника

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать теорему косинусов и формулу для высоты прямоугольного треугольника. Пусть треугольник ABC имеет стороны a = √5, b = √8 и c = 3, а высота BH принадлежит стороне AC. Тогда угол BAC равен α, а угол ABC равен β. По теореме косинусов, мы можем найти косинус угла α:

cos α = (b2 + c2 - a2) / (2bc) = (8 + 9 - 5) / (2√8⋅3) = 12 / (6√8) = √2 / 4

Тогда синус угла α равен:

sin α = √(1 - cos2 α) = √(1 - 1/16) = √(15/16) = √15 / 4

По формуле для высоты прямоугольного треугольника, мы можем найти длину высоты BH:

BH = b sin α = √8⋅√15 / 4 = √30 / 2

Ответ: высота BH равна √30 / 2.