Question

Заданы координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А2А3; 2) площадь грани А1А2А3; 3) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 4) объем пирамиды. (0;0;0) (5;2;0) (2;5;0) (1;2;4)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Даны координаты вершин пирамиды:

А1 (1, 1, 1),  А2 (2,

0, 2),  А3(2, 2, 2), А4 (3, 4, -3).

Найти:

1) длину ребра А1А2.

|A1A2| = √((2-1)²+(0-1)²+(2-1)²) = √3 ≈ 1,73205.

2) угол α между ребрами А1А2 и А1А3.

Вектор А1А2: (2-1=1; 0-1=-1; 2-1=1) = (1; -1; 1).

Вектор А1А3: (2-1=1; 2-1=1; 2-1=1) = (1; 1; 1).

cos α = |1*1+(-1)*1+1*1|/(√(1²+(-1)²+1²)*√(1²+1²+1²) = 1/(√3*√3) = 1/3.

α = arc cos(1/3) = 1,2309594

радиан = 70,528779

градуса.

3) площадь грани А1А2А3.

S = (1/2)*|a × b|.

Найдем векторное произведение векторов:

c = a × b.

a × b = ijkaxayazbxbybz = ijk1-11111 = i ((-1)·1 - 1·1) - j (1·1 - 1·1) + k (1·1 - (-1)·1) = 

 = i (-1 - 1) - j (1 - 1) + k (1 + 1) = {-2; 0; 2}

Найдем модуль вектора:

|c| = √(cx² + cy² + cz²) = √((-2)² + 0² + 2²) = √(4 + 0 + 4) = √8 = 2√2.

Найдем площадь треугольника:

S = (1/2)*2√2 = √2 ≈ 1,41421356.

Площадь грани можно также найти по формуле:

S = (1/2)|A1A2|*|A1A3|*sin α.

Синус найдём через найденный косинус угла между векторами:

sin α = √(1-cos²α) = √(1-(1/3)²) = √(8/9) = 2√2/3.

Модули векторов уже найдены при определении косинуса угла:√3 и √3.

Площадь грани A1A2A3 равна:

S = (1/2)*√3*√3*2√2/3 = √2.

4) объем пирамиды А1А2А3A4 (с учётом, что A1A4 =(2;3;-4)).

V = (1/6)*|1  -1   1|

              |1    1   1|

              |2    3   -4|.

Так как определитель матрицы

∆ = 1*(1*(-4)-3*1)-1*((-1)*(-4)-3*1)+2*((-1)*1-1*1) = -12, то объём равен:

V = (1/6)*12 = 2.

5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4. 

 Длина высоты пирамиды H=3V/Sосн = 3*2/√2 = 3√2 ≈ 4,242641.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте определим векторы, соединяющие вершины пирамиды. Затем мы можем использовать эти векторы для нахождения различных характеристик пирамиды. 1) Длина ребра A2A3: Для нахождения длины ребра A2A3, мы найдем разность координат вершин A2 и A3: Вектор A2A3 = A3 - A2 A2A3 = (2 - 5) i + (5 - 2) j + (0 - 0) k A2A3 = -3 i + 3 j Длина вектора A2A3: |A2A3| = √((-3)^2 + 3^2) |A2A3| = √(9 + 9) |A2A3| = √18 = 3√2 2) Площадь грани A1A2A3: Для нахождения площади грани A1A2A3, мы можем использовать половину произведения длин двух векторов, лежащих в этой плоскости. Допустим, одним из векторов будет A1A2, а вторым A1A3: Вектор A1A2 = A2 - A1 = (5 - 0) i + (2 - 0) j + (0 - 0) k = 5i + 2j Вектор A1A3 = A3 - A1 = (2 - 0) i + (5 - 0) j + (0 - 0) k = 2i + 5j Площадь грани A1A2A3: S = 0.5 * |A1A2 x A1A3| Где x обозначает векторное произведение. A1A2 x A1A3 = (5i + 2j) x (2i + 5j) = (5i + 2j) x (2i) + (5i + 2j) x (5j) A1A2 x A1A3 = 10k + 10k = 20k Теперь можем найти площадь: S = 0.5 * |20k| = 0.5 * 20 = 10 квадратных единиц. 3) Угол между ребрами A1A2 и A1A4: Для нахождения угла между ребрами, мы можем использовать скалярное произведение векторов A1A2 и A1A4: cos(θ) = (A1A2 * A1A4) / (|A1A2| * |A1A4|) A1A4 = A4 - A1 = (1 - 0) i + (2 - 0) j + (4 - 0) k = i + 2j + 4k A1A2 = 5i + 2j Теперь вычислим скалярное произведение: A1A2 * A1A4 = (5i + 2j) * (i + 2j + 4k) = 5 + 4 + 0 = 9 |A1A2| = √(5^2 + 2^2) = √(25 + 4) = √29 |A1A4| = √(1^2 + 2^2 + 4^2) = √(1 + 4 + 16) = √21 Теперь можем найти угол: cos(θ) = 9 / (√29 * √21) θ = arccos(9 / (√29 * √21)) 4) Объем пирамиды: Для нахождения объема пирамиды, мы можем использовать формулу объема пирамиды: V = (1/3) * S * h Где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды. Мы уже нашли площадь грани A1A2A3 (S = 10), и теперь нам нужно найти высоту пирамиды h. Высоту можно найти, используя проекции вектора A1A4 на нормали к граням пирамиды. В данном случае, нормаль к грани A1A2A3 будет равна вектору A1A2 x A1A4, который мы уже вычислили как 20k. Теперь найдем высоту: h = |A1A4| * cos(θ) где θ - угол между ребрами A1A2 и A1A4, который мы вычислили в пункте 3. Подставим значения: h = √21 * cos(θ) Теперь мы можем найти объем: V = (1/3) * S * h = (1/3) * 10 * (√21 * cos(θ)) Таким образом, вы рассчитали все четыре заданные характеристики пирамиды на основе её вершинных координат.