Question

Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3)площадь грани А1А2А3 ; 4) объем пирамиды А1А2А3A4 5)длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4. Координаты вершин А1(2,-1,1) А2 (5,5,4) А3 (3,2,-1) А4(4,1,3)

Answer 1

Даны координаты трех точек А1, А2, А3. требуется средствами векторной алгебры найти:
а) длину ВЕКТОРА А1А2
б) скалярное произведение ВЕКТОРОВ А1А2 и А1А3
в) угол между ВЕКТОРАМИ А1А2 и А1А3
г) площадь треугольника А1А2А3
д) уравнение плоскости, проходящей через точки А1,А2,А3
А1(0;2;1) А2(1;-2;1) А3(4;-1;-1)

A1 (x1,y1,z1)
A2 (x2,y2,z2)
A3 (x3,y3,z3)
а) |А1А2| = √( (x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
б) A1A2 * A1A3 = (x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+(z2-z1)(z3-z1)
в)
скалярное произведение векторов:
A1A2 * A1A3 = (x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+(z2-z1)(z3-z1)
длины векторов:
|А1А2| = √( (x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)
|А1А3| = √( (x3-x1)²+(y3-y1)²+(z3-z1)²)
угол между векторами:
cos α = ( ( (x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+(z2-z1)(z3-z1) ) / ( √( (x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²) * √( (x3-x1)²+(y3-y1)²+(z3-z1)²) )
г) площадь треугольника
S= ½ A1A2 * A1A3 = ½((x2-x1)(x3-x1)+(y2-y1)(y3-y1)+(z2-z1)(z3-z1))

д) решение см рисунок
(x-0)((-4)*(-2)-0*(-3))-(y-2)(1*(-2)-0*4) + (z-1)(1*(-3)-(-4)*4) = 0
8(x- 0)+ 2(y - 2)+ 13(z - 1) = 0
8x + 2y + 13z - 17=0

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся следующими свойствами векторной алгебры:

1. Длина вектора определяется как корень из скалярного произведения этого вектора на самого себя: |a| = sqrt(a·a).
2. Косинус угла между двумя векторами равен отношению их скалярного произведения к произведению их длин: cos(α) = (a·b) / (|a|·|b|).
3. Площадь треугольника можно вычислить как половину векторного произведения двух его сторон: S = |a x b| / 2.
4. Объем пирамиды с вершиной V и основанием ABC равен одной трети произведения площади основания на высоту, опущенную из вершины на это основание: V = S(ABC)·h / 3.
5. Высота пирамиды, проведенная из вершины V на основание ABC, равна проекции вектора, соединяющего V с центром масс основания, на нормаль к этому основанию: h = [(VABC)·n] / |n|, где n = (AB x AC) / |AB x AC| - нормаль к основанию.

Теперь решим поставленные задачи.

1. Длина ребра А1А2: Пусть a = A1A2 = (3, 6, 3). Тогда |a| = sqrt(3^2 + 6^2 + 3^2) = 3·sqrt(6).

Ответ: длина ребра А1А2 равна 3·sqrt(6).

2. Угол между ребрами А1А2 и А1А3: Пусть a = A1A2 = (3, 6, 3) и b = A1A3 = (1, 3, -2). Тогда cos(α) = (a·b) / (|a|·|b|) = (3·1 + 6·3 + 3·(-2)) / (3·sqrt(6)·sqrt(14)) = 3·sqrt(2) / 14. Значит, α = arccos(3·sqrt(2) / 14).

Ответ: угол между ребрами А1А2 и А1А3 равен arccos(3·sqrt(2) / 14).

3. Площадь грани А1А2А3: Пусть a = A1A2 = (3, 6, 3) и b = A1A3 = (1, 3, -2). Тогда S = |a x b| / 2 = |(6, -9, 9)| / 2 = 3·sqrt(6).

Ответ: площадь грани А1