Question

Даны вершины пирамиды А1, А2, А3, А4. Средствами векторной алгебры найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3 ; 4) объем пирамиды А1А2А3A4 5) длину высоты пирамиды, проведенной из вершины A4. Координаты вершины: A1(3, 6, 1) A2(6, 1, 4) A3(3, -6, 10) A4(7, 5, 4)

Answer 1

1) Вектор A₁A₂ = A₂ - A₁ = (6, 1, 4) -  (3, 6 ,1) = (3, -5, 3). Длина вектора равна |A₁A₂| = $\sqrt{3^2 + (-5)^2 + 3^2} = \sqrt{43}$

2) Вектор A₁A₃ = (0, -12, 9). Его длина |A₁A₃|= 15. Угол между ребрами A₁A₂ и A₁A₃ вычисляется по формуле:

$cos(a) = \frac{A1A2}{|A1||A2|}$

A₁A₂ ⁻ A₁A₃  = 3 ⁻ 0 + (-5) ⁻(-12) + 3 ⁻ 9 = 87;
|A₁A₂| ⁻ |A₁A₃| = 15√43

Отсюда cos(a) = $\frac{87}{15\sqrt{43}} = \frac{29\sqrt{43}}{215}$

Answer 2

Для решения задачи по нахождению длины ребра, угла между ребрами, площади грани, объема пирамиды и длины высоты пирамиды, проведенной из вершины A4, используем векторную алгебру.

1) Длина ребра A1A2:

Для нахождения длины ребра A1A2 воспользуемся формулой для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)

Где (x1, y1, z1) - координаты точки A1, а (x2, y2, z2) - координаты точки A2.

Подставим значения координат A1(3, 6, 1) и A2(6, 1, 4) в формулу:

d = sqrt((6 - 3)^2 + (1 - 6)^2 + (4 - 1)^2) = sqrt(9 + 25 + 9) = sqrt(43)

Таким образом, длина ребра A1A2 равна sqrt(43).

2) Угол между ребрами A1A2 и A1A3:

Для нахождения угла между ребрами A1A2 и A1A3 воспользуемся формулой для нахождения косинуса угла между векторами. Формула выглядит следующим образом:

cos(θ) = (a · b) / (|a| * |b|)

Где a и b - векторы, для которых нужно найти угол, а (a · b) - скалярное произведение векторов, а |a| и |b| - длины векторов.

Для начала, найдем векторы A1A2 и A1A3:

A1A2 = (6 - 3, 1 - 6, 4 - 1) = (3, -5, 3) A1A3 = (3 - 3, -6 - 6, 10 - 1) = (0, -12, 9)

Теперь найдем длины векторов A1A2 и A1A3:

|A1A2| = sqrt(3^2 + (-5)^2 + 3^2) = sqrt(9 + 25 + 9) = sqrt(43) |A1A3| = sqrt(0^2 + (-12)^2 + 9^2) = sqrt(0 + 144 + 81) = sqrt(225) = 15

И вычислим скалярное произведение векторов A1A2 и A1A3:

A1A2 · A1A3 = 3 * 0 + (-5) * (-12) + 3 * 9 = 0 + 60 + 27 = 87

Теперь можем найти косинус угла между векторами:

cos(θ) = (87) / (sqrt(43) * 15)

Из этого выражения мы можем найти значение косинуса угла, а затем найти сам угол.

3) Площадь грани A1A2A3:

Для нахождения площади грани A1A2A3 воспользуемся формулой для площади параллелограмма, образованного двумя векторами. Формула выглядит следующим образом:

S = |a × b|

Где a и b - векторы, образующие грань, а a × b - векторное произведение векторов.

Для начала, найдем векторы A1A2 и A1A3 (которые мы уже нашли в предыдущем пункте).

A1A2 = (3, -5, 3) A1A3 = (0, -12, 9)

Теперь найдем векторное произведение векторов A1A2 и A1A3:

A1A2 × A1A3 = (3 * (-12) - (-5) * 9, 3 * 0 - 3 * 9, (-5) * 0 - 3 * (-12)) = (-36 - (-45), 0 - 27, 0 - (-36)) = (9, -27, 36)

Теперь найдем длину вектора A1A2A3:

|A1A2A3| = sqrt(9^2 + (-27)^2 + 36^2) = sqrt(81 + 729 + 1296) = sqrt(2106)

Таким образом, площадь грани A1A2A3 равна sqrt(2106)