Question

Даны уравнения основания равнобедренного треугольника х+у-1=0, боковой его стороны х-2у+4=0, т А(-2;3) лежит на второй его стороне. Найти ее уравнение

Answer 1

Дано: уравнение основания равнобедренного треугольника х+у-1=0, боковой его стороны х-2у+4=0, точка А(-2;3) лежит на второй его стороне. Найти её уравнение.

Находим координаты точки В на основании треугольника, приравнивая уравнения основания и боковой стороны.

х + у - 1 = х - 2у + 4,

3у = 5,   у = 5/3.

х = 1 - у = 1 -(5/3) = -2/3.

Точка В((-2/3); (5/3)).

Находим координаты точки Н как середины отрезка АВ.

Н((-2+(-2/3))/2 = -8/6 = -4/3; (3+(5/3)/2 = 14/6 = 7/3) = ((-4/3); (7/3)).

Угловой коэффициент прямой СН как высоты равнобедренного треугольника равен: к(СН) = -1/к(АВ).

Выразим уравнение АВ относительно у: у = -х + 1. к(АВ) = -1.

Тогда к(СН) = -1/-1 = 1.

Уравнение СН имеет вид у = х + в.

Для определения величины "в" подставим координаты точки Н:

7/3 = 1*(-4/3) + в,   в = (7/3) + (4/3) = 11/3.

Получаем уравнение СН: у = х + (11/3) или в общем виде 3х - 3у + 11 = 0.

Теперь можно получить координаты точки С как точку пересечения прямых ВС и СН, выраженных относительно у.

ВС: у =(1/2)х + 2,  СН: у = х + (11/3).

(1/2)х + 2 = х + (11/3),

х - (1/2)х = 2 - (11/3),

(1/2)х = -5/3,

х = (-5/3)/(1/2) = -10/3,  у = х + (11/3) = (-10/3) + (11/3) = 1/3.

Точка С((1/3); (-5/3)).

По координатам двух точек А и С определяем уравнение этой прямой.

АС: (х + 2)/((-10/3)+2) = у - 3)/((1/3)-3)

АС: (х + 2)/(-4/3) = (у - 3)/(-8/3), после сокращения на (-4/3) получаем каноническое уравнение:

АС:  (х + 2)/1 = (у - 3)/2.

В общем виде 2х + 4 = у - 3 или 2х - у + 7 =0.

Answer 2

Рассмотрим уравнение основания равнобедренного треугольника xу - 1 = 0. Это уравнение можно представить в виде у = 1/x. Также дано уравнение боковой стороны треугольника x - 2у + 4 = 0. Раскроем скобки: x - 2(1/x) + 4 = 0. Умножим обе части уравнения на x, чтобы избавиться от знаменателя: x^2 - 2 + 4x = 0. Теперь приведем к квадратному уравнению: x^2 + 4x - 2 = 0. Решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта: D = b^2 - 4ac. В нашем случае a = 1, b = 4, c = -2, поэтому D = 4^2 - 4 * 1 * (-2) = 16 + 8 = 24. Так как дискриминант положительный, у уравнения имеется два корня. Формула корней квадратного уравнения: x = (-b ± √D) / 2a. Подставим значения: x = (-4 ± √24) / (2 * 1). Выполним вычисления: x = (-4 ± 2√6) / 2 = -2 ± √6. Итак, получили два значения x: x1 = -2 + √6 и x2 = -2 - √6. Подставим каждое значение x в уравнение основания треугольника, чтобы найти соответствующие значения у. Для x1 = -2 + √6 получаем у1 = 1 / (-2 + √6) и для x2 = -2 - √6 получаем у2 = 1 / (-2 - √6). Теперь у нас есть две точки треугольника: A(-2, 3) и B(x1, у1) или B(x2, у2). Для построения уравнения прямой, проходящей через точки А и В, воспользуемся формулой: y - y1 = (y2 - y1) / (x2 - x1) * (х - x1), где (x1, у1) и (x2, у2) - координаты точек А и В соответственно. Рассмотрим точку B(x1, у1): y - 3 = (у1 - 3) / (x1 - (-2)) * (х - (-2)). y - 3 = (1 / (-2 + √6) - 3) / (x1 + 2) * (х + 2). Рассмотрим точку B(x2, у2): y - 3 = (у2 - 3) / (x2 - (-2)) * (х - (-2)). y - 3 = (1 / (-2 - √6) - 3) / (x2 + 2) * (х + 2). Таким образом, уравнение искомой прямой, проходящей через точку A(-2, 3) и одну из сторон равнобедренного треугольника, имеет вид: y - 3 = (1 / (-2 + √6) - 3) / (x + 2) * (х + 2) или y - 3 = (1 / (-2 - √6) - 3) / (x + 2) * (х + 2).