Question

Доказать что 2+ кубический корень от 3 это иррациональное число

Answer 1

Число $2+\sqrt[3]{3}$. Достаточно доказать, что $\sqrt[3]{3}$ - иррациональное число. Предположим противное: пусть $\sqrt[3]{3}=\frac{m}{n}$, где m - целое число, n - натуральное и m,n - взаимно просты, т.е. дробь несократима. Возведем обе части равенства в куб:

$3=\frac{m^{3}}{n^{3}}$. Заметим, что n≠1, поскольку тогда m и n не взаимно просты. Значит m³ и n³ были сокращены на какое-то число. Противоречие. Значит $2+\sqrt[3]{3}$ - число иррациональное

Answer 2

Для доказательства того, что 2-й кубический корень из 3 является иррациональным числом, мы предполагаем, что он является рациональным числом в виде дроби \(\frac{p}{q}\), где \(p\) и \(q\) - целые числа, а \(q\) не равно нулю и они взаимно простые (т.е. не имеют общих делителей, кроме 1). Тогда мы можем записать: \(\sqrt[3]{3} = \frac{p}{q}\) Возводя это уравнение в куб, получаем: \(3 = \frac{p^3}{q^3}\) Умножая обе части уравнения на \(q^3\), получаем: \(3q^3 = p^3\) Это означает, что \(p^3\) делится на 3. Заметим, что это означает, что \(p\) также делится на 3, так как если \(p\) не делится на 3, то его куб не будет делиться на 3. Значит, мы можем записать \(p\) в виде \(p = 3k\), где \(k\) - другое целое число. Подставляя это значение в наше уравнение, получаем: \(3q^3 = (3k)^3\) Упрощая это выражение, получаем: \(3q^3 = 27k^3\) Деля обе части на 3, получаем: \(q^3 = 9k^3\) Теперь мы видим, что \(q^3\) также делится на 3 и, следовательно, \(q\) также делится на 3. Итак, мы получили, что и \(p\) и \(q\) делятся на 3, что противоречит нашему первоначальному условию, что они взаимно простые. Таким образом, мы приходим к противоречию, предположив, что 2-й кубический корень из 3 является рациональным числом. Следовательно, он должен быть иррациональным числом.