Question

Найти частное от делителя многочлена x^(3)+2x^(2)+3x-4 на x-2

Answer 1

$(x-2)^{2}=x^{2}-4x+4 \\ (x-2)^{3}= (x^{2}-4x+4)(x-2)=x^{3}-6x^2+12x-8 \\ \\ \frac{x^{3}+2x^{2}+3x-4}{x-2}= \frac{x^{3}-6x^2+12x-8+8x^{2}-9x+4}{x-2}= \\ = \frac{x^{3}-6x^2+12x-8}{x-2}+ \frac{8x^{2}-9x+4}{x-2} = \\ = \frac{(x^{2}-4x+4)(x-2)}{x-2}+ \frac{8x^{2}-32x+32+23x-28}{x-2}= \\ =x^{2}-4x+4+ \frac{8x^{2}-32x+32}{x-2} + \frac{23x-28}{x-2}= \\ =x^{2}-4x+4+ \frac{8(x^{2}-4x+4)}{x-2} + \frac{23x-46+18}{x-2}= \\ =x^{2}-4x+4+ \frac{8(x-2)^{2}}{x-2} + \frac{23x-46}{x-2}+ \frac{18}{x-2}=$
$=x^{2}-4x+4+8(x-2)+ \frac{23(x-2)}{x-2}+ \frac{18}{x-2}= \\ =x^{2}-4x+4+8x-16+23+ \frac{18}{x-2}= \\ =x^{2}+4x+11+\frac{18}{x-2}$
⇒ $x^{2}+4x+11$ - частное при делении многочлена  $x^{3}+2x^{2}+3x-4$ на многочлен  $x-2$.

Answer 2

Для нахождения частного от деления многочлена x^3 + 2x^2 + 3x - 4 на x - 2 мы можем использовать алгоритм синтетического деления.

Сначала запишем многочлен в стандартной форме, где все члены упорядочены по степени:

x^3 + 2x^2 + 3x - 4

Затем определим коэффициенты многочлена x - 2. В данном случае, у нас есть только один член степени 1 (x), с коэффициентом 1, и один свободный член (-2).

x - 2

Теперь начнем деление:

2 │ 1 2 3 - 4
-2 -4 -12
--------------
1 -2 -9 -16

Итак, частное от деления многочлена x^3 + 2x^2 + 3x - 4 на x - 2 равно x^2 - 2x - 9, а остаток равен -16.

Таким образом, мы имеем следующую формулу:

x^3 + 2x^2 + 3x - 4 = (x - 2)(x^2 - 2x - 9) - 16

Обратите внимание, что коэффициенты многочленов x^2 - 2x - 9 и -16 совпадают с остатками от деления.