Question

Доказать тождество  1+tg^2t=cos^-2t 1+ctg^2t=sin^-2t

Answer 1

1)
Преобразуем 1+tg^2t и докажем что оно равно cos^-2t
$1+tg^2t=1+ \frac{sin^2t}{cos^2t} = \frac{cos^2t+sin^2t}{cos^2t}=1/cos^2t= cos^{-2}t$
2) Преобразуем 1+ctg^2t и докажем что оно равно sin^-2t
$1+ctg^2t= \frac{sin^2t+cos^2t}{sin^2t}=1/sin^2t= sin^{-2}t$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать основные тригонометрические тождества: 1. Теорема Пифагора: sin^2(t) + cos^2(t) = 1 2. Определение тангенса и котангенса: tg(t) = sin(t) / cos(t), ctg(t) = cos(t) / sin(t) 3. Отношения между синусом и косинусом: sin^2(t) = 1 - cos^2(t), cos^2(t) = 1 - sin^2(t) Давайте начнем с доказательства первого тождества: 1. У нас есть равенство 1 + tg^2(t) = cos^(-2)(t) 2. Подставим определение тангенса: 1 + (sin(t)/cos(t))^2 = cos^(-2)(t) 3. Упростим выражение, взяв общий знаменатель: (cos^2(t) + sin^2(t)) / cos^2(t) = cos^(-2)(t) 4. Применим теорему Пифагора: 1 / cos^2(t) = cos^(-2)(t) 5. Упростим: cos^(-2)(t) = cos^(-2)(t) Теперь докажем второе тождество: 1. У нас есть равенство 1 + ctg^2(t) = sin^(-2)(t) 2. Подставим определение котангенса: 1 + (cos(t)/sin(t))^2 = sin^(-2)(t) 3. Упростим выражение, взяв общий знаменатель: (sin^2(t) + cos^2(t)) / sin^2(t) = sin^(-2)(t) 4. Применим теорему Пифагора: 1 / sin^2(t) = sin^(-2)(t) 5. Упростим: sin^(-2)(t) = sin^(-2)(t) Таким образом, мы доказали, что 1 + tg^2(t) = cos^(-2)(t) и 1 + ctg^2(t) = sin^(-2)(t) являются верными тождествами.