Question

Найти число трёхзначных палиндромов, которые делятся на 2, но не на 4

Answer 1

Ответ: 20

Пошаговое объяснение:

Итак, палиндромы -- это числа, которые слева направо читаются одинаково. Если даны трёхзначные палиндромы, то это числа вида

1х1, 2х2, 3х3, 4х4, 5х5, 6х6, 7х7, 8х8, 9х9, где х -- любая цифра от 0 до 9. Можно сразу отбросить 1х1, 3х3, 5х5,  7х7, 9х9, потому что они точно не делятся на 2. У нас остаются:

2х2, 4х4, 6х6, 8х8.

Необходимое и достаточное условие, чтобы число делилось на 4: две последние его цифры должны делиться на 4. Поэтому в оставшихся 4 видах палиндромов мы должны забить на первую цифру и смотреть только 2 последние. На примере 2х2:

202 - не делится на 4

212 - делится на 4, т.к. 12 делится на 4

222 - не делится на 4

232 - делится на 4, т.к. 32 делится на 4

242 - не делится на 4

252 - делится на 4, т.к. 52 делится на 4

262 - не делится на 4

272 - делится на 4, т.к. 72 делится на 4

282 - не делится на 4

292 - делится на 4, т.к. 92 делится на 4

Следовательно, нам подходят палиндромы 202, 222, 242, 262, 282 -- всего 5 штук

В случае 4х4:

404 -- делится на 4 (4 делится на 4)

414 -- не делится на 4

424 -- делится на 4 (24 делится на 4)

434 -- не делится на 4

444 -- делится на 4 (44 делится на 4)

454 -- не делится на 4

464 -- делится на 4 (64 делится на 4)

474 -- не делится на 4

484 -- делится на 4 (84 делится на 4)

494 -- не делится на 4

Всего: нам подходят 414, 434, 454, 474, 494 -- 5 штук

(Тут уже можно вывести закономерность)

В случае 6х6:

606 -- не делится на 4

616 -- делится на 4

626 -- не делится на 4

636 -- делится на 4

646 -- не делится на 4

656 -- делится на 4

666 -- не делится на 4

676 -- делится на 4

686 -- не делится на 4

696 -- делится на 4

Нам подходят: 606, 626, 646, 666, 686 -- 5 штук

В случае 8х8:

808 -- делится на 4

818 -- не делится на 4

828 -- делится на 4

838 -- не делится на 4

848 -- делится на 4

858 -- не делится на 4

868 -- делится на 4

878 -- не делится на 4

888 -- делится на 4

898 -- не делится на 4

Итого: нам подходят 818, 838, 858, 878, 898 -- 5 штук

Суммируем: 5+5+5+5=20.

(а можно посмотреть закономерность, что в случае, если первая цифра делится на 4, то на 4 будут делиться палиндромы вида 4х4 и 8х8, где х - чётная цифра; если же нет, то делиться на 4 будут палиндромы вида 6х6 и 2х2, где х -- нечётная цифра. Четных и нечётных цифр одинаковое кол-во, так что получаем по 5 штук палиндромов 4 видов. 5*4 = 20.)

Answer 2

Чтобы найти число трёхзначных палиндромов, которые делятся на 2, но не на 4, нужно учесть несколько факторов.

Палиндромы - это числа, которые читаются одинаково слева направо и справа налево. Трёхзначные палиндромы имеют следующую структуру: XYX, где X и Y - две цифры.

Чтобы число делилось на 2, оно должно заканчиваться на чётную цифру. В трёхзначных палиндромах это возможно только в случае, если Y - чётная цифра (0, 2, 4, 6 или 8).

Так как X и Y не могут быть равными нулю (трёхзначный палиндром не может начинаться и заканчиваться нулями), возможные значения для X и Y следующие:

X: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Y: 0, 2, 4, 6, 8

Чтобы число не делилось на 4, оно не должно заканчиваться на 0 и должно иметь остаток 2 при делении на 4. Это означает, что комбинация XYX должна иметь остаток 2 при делении на 4.

Рассмотрим возможные комбинации для XYX и проверим их на делимость на 4:

102: остаток 102 / 4 = 25 (не подходит)
112: остаток 112 / 4 = 28 (подходит)
122: остаток 122 / 4 = 30 (не подходит)
132: остаток 132 / 4 = 33 (не подходит)
142: остаток 142 / 4 = 35 (не подходит)
152: остаток 152 / 4 = 38 (не подходит)
162: остаток 162 / 4 = 40 (не подходит)
172: остаток 172 / 4 = 43 (не подходит)
182: остаток 182 / 4 = 45 (не подходит)
192: остаток 192 / 4 = 48 (подходит)
200: остаток 200 / 4 = 50 (не подходит)
202: остаток 202 / 4 = 50 (подходит)
...

Таким образом, мы можем найти трёхзначные палиндромы, которые делятся на 2, но не на 4, следующим образом: 112, 192 и так далее.

Мы можем установить определенный шаблон: XYX, где X принимает значения от 1 до 9, а Y принимает значения от 0, 2, 4, 6 или 8. Всего у нас 5 возможных вариантов для Y и 9 возможных вариантов для X. Таким образом, всего 9 * 5 = 45 трёхзначных палиндромов, которые делятся на 2, но не на 4.