Question

Исследовать функцию f(x)=4/x-1

Answer 1

Точки, в которых функция точно неопределена:x1 = 1.
Точки пересечения с осью координат YГрафик пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в 4/(x - 1).4 -- -1Результат:f(0) = -4Точка:(0, -4)

Answer 2

Функция f(x) = 4/x - 1 представляет собой рациональную функцию, где числитель - это константа 4, а знаменатель - x с вычитанием 1. Давайте проведем исследование этой функции подробно. 1. Область определения: Функция f(x) определена для всех действительных чисел x, кроме тех значений x, при которых знаменатель равен нулю (x - 1 = 0), то есть x ≠ 1. Таким образом, область определения функции - все действительные числа, кроме x = 1. 2. Нули функции: Чтобы найти нули функции, нужно решить уравнение 4/x - 1 = 0. Это уравнение можно переписать как 4/x = 1 и далее как x = 4. Таким образом, у функции есть один нуль при x = 4. 3. Вертикальные асимптоты: Вертикальные асимптоты - это вертикальные линии, приближающиеся к которым график функции бесконечно близко, но никогда не пересекает их. В данном случае, вертикальная асимптота будет находиться в x = 1, так как это значение, при котором знаменатель равен нулю. График будет стремиться к этой вертикальной асимптоте, когда x стремится к 1 как справа (x -> 1+) и слева (x -> 1-). 4. Горизонтальная асимптота: Горизонтальная асимптота - это горизонтальная линия, к которой график функции стремится при x, стремящемся к бесконечности. Для данной функции f(x) = 4/x - 1, горизонтальная асимптота будет y = 0. График будет стремиться к этой горизонтальной асимптоте при x -> ±∞. 5. Знак функции и интервалы монотонности: Изучение знака функции и интервалов монотонности можно провести, используя производные функции. Производная функции f(x) = 4/x - 1 равна f'(x) = -4/x^2. Эта производная отрицательна для всех значений x, кроме x = 0, так как при x = 0 она не определена из-за деления на ноль. Это означает, что функция f(x) убывает на всей своей области определения, кроме x = 0. 6. Поведение вблизи нуля: В окрестности x = 0 функция f(x) стремится к бесконечности отрицательной бесконечности. Это связано с тем, что знаменатель x близок к 0, и чем ближе x к 0, тем больше значение функции. 7. Поведение вблизи вертикальной асимптоты (x = 1): В окрестности x = 1 функция f(x) стремится к бесконечности (положительной бесконечности справа и отрицательной бесконечности слева), так как знаменатель (x - 1) стремится к нулю. 8. Значение функции в нуле: f(0) = 4/0 - 1 не определено из-за деления на ноль. Итак, исследование функции f(x) = 4/x - 1 позволяет нам понять её основные свойства, область определения, наличие асимптот, нули и интервалы монотонности. Эта информация полезна при анализе и построении графика функции.