Question

Несколько человек собрались в клубе. Некоторые из них были в шляпах, а другие – с непокрытой головой. Кто-то из тех, у кого была шляпа на голове, мог снять свою шляпу и надеть на того, у кого в данный момент шляпы на голове не было. Потом опять кто-то из тех, у кого была шляпа на голове, мог её снять и надеть на того, у кого в тот момент шляпы на голове не было, и т.д. Таким образом они развлекались некоторое время, после чего оказалось, что 10 человек отдавали шляпы больше раз, чем получали. Найдите наименьшее количество людей, которые могли быть в клубе в этот день. Ответ обоснуйте.

Answer 1

Человек мог отдать шляп больше, чем получил только в случае, если он пришел в шляпе, а ушел без нее. В самом деле, человек пришедший в шляпе и в ней же ушедший отдал шляпу столько же раз, сколько потом и получил. А человек пришедший без шляпы мог либо получить шляп на одну больше, чем отдал и уйти с ней, либо опять-таки получить столько же, сколько отдал и остаться без шляпы.

Так как таких человек 10, мы понимаем что по крайней мере 10 человек пришли в своих шляпах.

Так как оказались они все в итоге без шляп, мы понимаем, что их 10 разных шляп были вручены по крайней мере 10 разным людям с непокрытой головой. Значит минимальное количество людей - 20. 10 в шляпах и 10 без шляп

Answer 2

Предположим, что в клубе было n человек. Для каждого человека мы можем рассмотреть количество раз, когда он получал шляпу и количество раз, когда он отдавал шляпу. Обозначим эти значения для i-го человека как Pi и Gi соответственно.

Количество раз, когда человек отдавал шляпу, должно быть больше или равно числу раз, когда он получал шляпу. Это условие можно записать следующим образом:

Gi >= Pi для всех i=1, 2, ..., n.

Мы знаем, что сумма всех Pi по всем людям равна 10. То есть:

P1 + P2 + ... + Pn = 10.

Также, сумма всех Gi по всем людям также равна 10. То есть:

G1 + G2 + ... + Gn = 10.

Искомое наименьшее количество людей будет соответствовать ситуации, когда каждый человек отдавал шляпу больше раз, чем получал. Для этого каждый Gi должен быть строго больше соответствующего Pi. Если бы хотя бы один Gi был равен Pi, то в этом случае было бы возможно, что Gi может быть не больше, чем Pi, и наименьшее количество людей не было бы достигнуто.

Предположим, что существует два человека с равными Pi и Gi. Тогда условие Gi > Pi не будет выполняться, и наименьшее количество людей не будет достигнуто. Если существует два или более человека с одинаковыми Pi и Gi, то следует рассмотреть другое количество людей.

Ищем наименьшее количество людей, удовлетворяющих всем условиям. Можно заметить, что если существует только один человек, то он не может отдавать и получать шляпы одновременно, и условия не выполняются. Таким образом, нам нужно рассмотреть случай, когда в клубе находятся как минимум два человека.

Рассмотрим случай с двумя людьми. Если первый человек получает шляпу, то второй человек уже не может отдать шляпу, потому что в клубе нет других людей. Если первый человек отдает шляпу, то второй человек может получить шляпу, и условия выполняются. Таким образом, наименьшее количество людей, для которых выполняются условия, равно 2.

Ответ: наименьшее количество людей, которые могли быть в клубе в этот день, равно 2.