Question

Радиусы шаров равны 4 см и 3 см, а расстояние между их центрами 5 см. Найдите длину линии, по которой пересекаются их поверхности.

Answer 1

Відповідь:

Длина линии, по которой пересекаются поверхности двух шаров равна 15,1 см.

Покрокове пояснення:

Поскольку сумма радиусов двух шаров ( 4 + 3 = 7 см ) больше, чем расстояние между их центрами ( 5 см ), то шары пересекаются по окружности.

Построим сечение, проходящее через центры шаров. Первый шар с центром в точке А с радиусом R1 = АС = 4 см, второй шар с центром в точке В с радиусом R2 = ВС = 3 см. Расстояние между центрами шаров АВ = 5 см. Шары пересекаются по окружности СС1 ( СС1 - это диаметр окружности пересечения двух шаров ).

Треугольник АВС - прямоугольный с прямым углом С = 90°. Это можно проверить по теореме Пифагора:

АВ² = АС² + ВС²

5² = 4² + 3²

25 = 16 + 9

25 = 25

Пересечение отрезков АВ и СС1 - точка О, а отрезок СО - высота треугольника АВС.

Рассмотрим треугольники АВС, АСО и СВО - они подобные ( все три соответствующие углы треугольников равны ).

∆АВС

∠АСВ = 90°

∠САВ = α

∠СВА = β

∆АСО

∠АОС = 90°

∠ОАС = α

∠ОСА = β

∆СВО

∠СОВ = 90°

∠ОСВ = α

∠ОВС = β

∆АВС ~ ∆АСО ~ ∆СВО

АВ ( ∆АВС ) ~ АС ( ∆АСО ) ~ СВ ( ∆АСО ) ( как гипотенуза соответствующих треугольников ).

АС ( ∆АВС ) ~ АО ( ∆АСО ) ~ СО ( ∆АСО ) ( как катет прилежащий к ∠α соответствующих треугольников ).

ВС ( ∆АВС ) ~ СО ( ∆АСО ) ~ ВО ( ∆АСО ) ( как катет прилежащий к ∠β соответствующих треугольников ).

Коэффициент подобия треугольников АВС и АСО:

k1 = АС / АВ = 4/5

или АС = k1 × АВ = 4/5 × АВ

Получаем:

АС = 4/5 × АВ = 4/5 × 5 = 20/5 = 4 см.

АО = 4/5 × АС = 4/5 × 4 = 16/5 = 3,2 см.

СО = 4/5 × ВС = 4/5 × 3 = 12/5 = 2,4 см.

Коэффициент подобия треугольников АВС и СВО:

k2 = СВ / АВ = 3/5

или СВ = k1 × АВ = 3/5 × АВ

Получаем:

СВ = 3/5 × АВ = 3/5 × 5 = 15/5 = 3 см.

СО = 3/5 × АС = 3/5 × 4 = 12/5 = 2,4 см.

ВО = 3/5 × ВС = 3/5 × 3 = 9/5 = 1,8 см.

Мы получили одинаковую величину СО ( радиус окружности пересечения двух шаров ) рассчитанную по двум треугольникам.

Также сумма АО и ВО равна АВ:

АВ = АО + ВО

5 = 3,2 + 1,8

5 = 5

Для проверки правильности расчетов проверим выполняется ли теорема Пифагора для ∆АСО и ∆СВО ( так как они оба прямоугольные ):

для ∆АСО

АС² = АО² + СО²

4² = 3,2² + 2,4²

16 = 10,24 + 5,76

16 = 16

для ∆СВО

СВ² = СО² + ВО²

3² = 2,4² + 1,8²

9 = 5,76 + 3,24

9 = 9

Все правильно.

Мы нашли радиус окружности пересечения двух шаров R = СО = 2,4 см.

Найдем длину линии, по которой пересекаются поверхности двух шаров.

Поскольку два шара пересекаются по окружности, то нам необходимо найти длину окружности:

L = 2 × π × R = 2 × π × 2,4 = 4,8 × π = 15,1 см.

Answer 2

Чтобы найти длину линии, по которой пересекаются поверхности двух сфер, мы можем использовать теорему Пифагора.

Представим, что центры сфер соединены линией, а сферы касаются этой линии в точках A и B. Тогда, с помощью теоремы Пифагора, мы можем найти расстояние между точками A и B.

Согласно условию задачи, расстояние между центрами сфер равно 5 см. Если мы проведем перпендикуляр из центра одной сферы к линии, соединяющей центры сфер, то он будет пересекать эту линию в точке O.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник OAB, где расстояние OA равно радиусу первой сферы (4 см), расстояние OB равно радиусу второй сферы (3 см), а расстояние AB равно длине линии, по которой пересекаются поверхности сфер.

Применяя теорему Пифагора к треугольнику OAB, мы можем найти длину линии AB:

AB² = OA² + OB²
AB² = 4² + 3²
AB² = 16 + 9
AB² = 25

Из данного равенства следует, что AB = √25 = 5 см.

Таким образом, длина линии, по которой пересекаются поверхности сфер, равна 5 см.