Question

Найти все комплексные корни уравнения:z^3+√3+i=0​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$z^3+\sqrt{3}+i=0\\z^3=-2(\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i)\\z^3=-2(cos(\pi/6)+i*sin(\pi/6))\\z^3=-2e^{\pi/6*i}\\z_{k}=-\sqrt[3]{2}e^{\frac{\pi/6+2\pi k}{3}*i}=-\sqrt[3]{2}e^{(\pi/18+2\pi k/3)*i}$

для всех k ={0, 1, 2}.

Решение получено по формуле Муавра.

Answer 2

Чтобы найти комплексные корни уравнения z^3 + √3i + i = 0, мы должны решить это уравнение для переменной z. Давайте посмотрим, как это можно сделать: 1. Сначала перепишем уравнение в стандартной форме: z^3 + i(sqrt(3) + 1) = 0. 2. Заметим, что это является кубическим уравнением. Для решения кубического уравнения мы можем использовать формулу Кардано или метод деления синтетическим делением. В данном случае у нас есть конкретное значение i(sqrt(3) + 1), поэтому мы можем использовать метод деления синтетическим делением. 3. Для начала, найдем один корень уравнения. Мы можем предположить, что z = -i является корнем, так как -i^3 = -i*(-i)*(-i) = -(-1)*i = i. 4. Теперь мы можем выполнить синтетическое деление, разделив уравнение на (z + i). После деления получим квадратное уравнение z^2 - iz - (sqrt(3) + 1) = 0. 5. Решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы найти два оставшихся корня. Дискриминант D = (-i)^2 - 4(1)(-sqrt(3) - 1) = 1 + 4sqrt(3) + 4 = 5 + 4sqrt(3). Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы: z = (-b ± √D) / (2a), где a = 1, b = -i и D = 5 + 4sqrt(3). Подставим значения и рассчитаем корни: z1 = (-(-i) + √(5 + 4sqrt(3))) / (2*1) = (i + √(5 + 4sqrt(3))) / 2 z2 = (-(-i) - √(5 + 4sqrt(3))) / (2*1) = (i - √(5 + 4sqrt(3))) / 2 6. Таким образом, мы нашли три комплексных корня уравнения z^3 + √3i + i = 0: z1 = (i + √(5 + 4sqrt(3))) / 2 z2 = (i - √(5 + 4sqrt(3))) / 2 z3 = -i Надеюсь, это помогло! Если у вас возникли еще вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.