Question

Cos2x*cos6x-sin2x*sin6x=-1

Answer 1

Через косинус суммы выразим это выражение по другому.

cos(2x+6x)= -1

8x=pi+2pi*n, n∈Z.

Ответ: x={pi/8+pi*n/4}, n∈Z.

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте воспользуемся формулой для косинуса разности двух углов:

\[ \cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B. \]

В данном уравнении у нас есть выражение, в котором угол 2x вычитается из угла 6x. Мы можем использовать эту формулу, где A будет 6x, а B будет 2x:

\[ \cos(6x - 2x) = \cos 6x \cos 2x + \sin 6x \sin 2x. \]

Теперь мы можем упростить выражение:

\[ \cos(4x) = \cos 6x \cos 2x + \sin 6x \sin 2x. \]

Теперь мы видим, что у нас есть косинус угла 4x слева, и мы хотим привести выражение к виду, в котором справа также будет косинус. Для этого воспользуемся формулой для синуса удвоенного угла:

\[ \sin(2A) = 2 \sin A \cos A. \]

Мы можем применить эту формулу к правой части нашего уравнения:

\[ \cos(4x) = \cos 6x \cos 2x + \sin 6x \sin 2x. \]

\[ \cos(4x) = \cos 6x \cos 2x + 2 \sin 6x \cos 2x. \]

Теперь мы видим, что у нас есть два слагаемых с косинусом, и мы можем объединить их:

\[ \cos(4x) = (\cos 6x + 2\sin 6x) \cos 2x. \]

Теперь у нас есть выражение, в котором справа стоит косинус, и оно равно -1. Теперь мы можем записать уравнение:

\[ \cos(4x) = -1. \]

Теперь, чтобы решить это уравнение, найдем такие значения 4x, при которых косинус равен -1. Косинус равен -1, когда угол находится в точке максимума в своей периодической функции. Это происходит, когда угол находится на \((2n + 1) \pi\), где n - целое число.

Таким образом, мы можем записать:

\[ 4x = (2n + 1) \pi. \]

Для получения значений x, делим обе стороны на 4:

\[ x = \frac{(2n + 1) \pi}{4}. \]

Таким образом, x может принимать значения вида:

\[ x = \frac{(2n + 1) \pi}{4}, \]

где n - целое число.