Question

X/cosx , x0=0 Найдите производную

Answer 1

(X/cosx)'=[х'*cosx-х*(cosx)']/(cosx)^2=[cosx+x*sinx]/(cosx)^2

Если x0=0, то:

[cos0+0*sin0]/(cos0)^2=1/1=1

Ответ: 1

Answer 2

Для нахождения производной функции \(f(x) = \frac{x}{\cos(x)}\) при \(x_0 = 0\), мы воспользуемся правилом дифференцирования частного. Для этого нам понадобятся две производные: производная числителя и производная знаменателя.

1. Найдем производную числителя \(x\) по отношению к \(x\): \[ \frac{d}{dx} (x) = 1 \]

2. Найдем производную знаменателя \(\cos(x)\) по отношению к \(x\). Для этого мы воспользуемся производной косинуса: \[ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x) \]

Теперь мы можем применить правило дифференцирования частного для нахождения производной функции \(f(x)\):

\[ f'(x) = \frac{1 \cdot \cos(x) - x \cdot (-\sin(x))}{(\cos(x))^2} \]

Упростим это выражение:

\[ f'(x) = \frac{\cos(x) + x\sin(x)}{(\cos(x))^2} \]

Теперь, чтобы найти производную в точке \(x_0 = 0\), подставим \(x = 0\) в выражение:

\[ f'(0) = \frac{\cos(0) + 0\sin(0)}{(\cos(0))^2} \]

Значения \(\cos(0)\) и \(\sin(0)\) равны соответственно 1 и 0:

\[ f'(0) = \frac{1 + 0}{(1)^2} = 1 \]

Итак, производная функции \(f(x) = \frac{x}{\cos(x)}\) в точке \(x_0 = 0\) равна 1.