Question

Докажите тождество Sin^2(45+a) -sin^2(30-a) -sin15*cos(15+2a)=sin2a

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

sin²a=0,5(1-cos2a)

sinacosb=0,5(sin(a+b)+sin(a-b))

cos(90°+a)=-sina

sin²(45°+a)=0,5(1-cos(90°+2a))=0,5(1+sin2a)

sin²(30°-a)=0,5(1-cos(60°-2a))=0,5(1-cos(90°-(30°+2a)))=0,5(1-sin(30°+2a))

sin15°cos(15°+2a)=0,5(sin(30°+2a)-sin2a)

sin²(45°+a)-sin²(30°-a)-sin15°cos(15°+2a)=

=0,5(1+sin2a)-0,5(1-sin(30°+2a))-0,5(sin(30°+2a)-sin2a)=

=0,5+0,5sin2a-0,5+0,5sin(30°+2a)-0,5sin(30°+2a)+0,5sin2a=sin2a

Answer 2

Давайте изучим данное тождество и докажем его.

Начнем с левой стороны тождества:

Sin^2(45+a) - sin^2(30-a) - sin15*cos(15+2a)

Используем тригонометрические тождества

1. Sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2 2. Sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b) 3. Sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

Используя эти тождества, мы можем переписать исходное тождество:

(1 - cos(2(45+a)))/2 - (1 - cos(2(30-a)))/2 - sin(15)cos(15)cos(2a) + sin(15)sin(2a)cos(15)

Выполним преобразования

1. cos(2(45+a)) = cos(90+2a) = cos(2a) 2. cos(2(30-a)) = cos(60-2a) = cos(2a) 3. sin(15)cos(15) = sin(2(15))/2 = sin(30)/2 = 1/2 4. sin(15)sin(2a) = sin(2(15+a))/2 = sin(30+2a)/2 = 1/2 * cos(2a)

Теперь мы можем переписать левую сторону тождества:

(1 - cos(2a))/2 - (1 - cos(2a))/2 - 1/2 * cos(2a) + 1/2 * cos(2a)

Упростим выражение

(1 - cos(2a))/2 - (1 - cos(2a))/2 - 1/2 * cos(2a) + 1/2 * cos(2a) = 0

Таким образом, мы получили, что левая сторона тождества равна 0.

Теперь рассмотрим правую сторону тождества:

sin(2a)

Мы видим, что правая сторона тождества также равна sin(2a).

Вывод

Мы доказали, что левая сторона и правая сторона тождества равны друг другу и равны sin(2a), следовательно, данное тождество Sin^2(45+a) - sin^2(30-a) - sin15*cos(15+2a) = sin2a+ верно.