Question

При каком значении а уравнение а*2^х+2^-х=5 имеет единственное решение?

Answer 1

2^x=t, t>0
at+1/t-5=0
at²-5t+1=0
При a=0 уравнение является линейным и имеет один корень t=1/5
При а≠0 уравнение является квадратным и имеет единственный корень с учетом t>0 при D=0, либо при D>0 и t1>0, a t2<0.
1) D=0
25-4a=0
a=25/4
2) 25-4a>0
a<25/4
t1=(5-2,5)/2a>0
5/4a>0
a>0
t2=(5+2,5)/2a<0
15/4a<0
a<0
нет решений
Ответ: а=0 и а=25/4

Answer 2

Уравнение a*2^x + 2^(-x) = 5 может иметь единственное решение при определенном значении параметра "a". Для нахождения этого значения "a" давайте рассмотрим уравнение более подробно.

Уравнение a*2^x + 2^(-x) = 5 может быть записано в виде:

a*2^x + 1/(2^x) = 5.

Для того чтобы найти единственное решение этого уравнения, давайте введем вспомогательную переменную t = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

a*t + 1/t = 5.

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно переменной t:

at^2 + 1 = 5t.

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

at^2 - 5t + 1 = 0.

Это уравнение имеет единственное решение, если его дискриминант равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения D вычисляется по формуле:

D = b^2 - 4ac,

где a, b и c - коэффициенты уравнения. В данном случае:

a = a, b = -5, c = 1.

Подставим значения в формулу для D:

D = (-5)^2 - 4*a*1.

D = 25 - 4a.

Теперь, чтобы уравнение имело единственное решение, дискриминант D должен быть равен нулю:

25 - 4a = 0.

4a = 25.

a = 25/4.

Итак, уравнение a*2^x + 2^(-x) = 5 имеет единственное решение, когда параметр "a" равен 25/4. Если "a" не равно этому значению, то уравнение может иметь более одного решения или не иметь их вовсе.