Question

Докажите, что из любых n+1 целых чисел можно выбрать два числа, разность которых делится на n

Answer 1

например 0,1,...,n,n+1; набор целых чисел.

возьмем разность между парами крайними.

(n+1-1):n=n:n=1;

(n-0):n=n:n=1;

Оба делятся на n без остатка, это еще не брали отрицательные числа, там еще вагон чья разность будет делится целочислено на n

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Шаг базы (n = 1): Рассмотрим случай, когда имеется два целых числа. Пусть эти числа обозначаются как a и b. Разность между ними будет равна |a - b|. Заметим, что разность целых чисел всегда является целым числом. Таким образом, если n = 1, то разность между любыми двумя целыми числами делится на 1.

Шаг предположения (n = k): Предположим, что для любых k целых чисел можно выбрать два числа, разность которых делится на k.

Шаг индукции (n = k + 1): Рассмотрим случай, когда имеется k + 1 целых чисел. Обозначим эти числа как a₁, a₂, ..., aₖ, aₖ₊₁. Возьмем разности между каждой парой чисел: |a₁ - a₂|, |a₁ - a₃|, ..., |a₁ - aₖ|, |a₁ - aₖ₊₁|. Из предположения индукции, для k чисел можно выбрать два числа, разность которых делится на k. Давайте рассмотрим два случая:

Случай 1: Если разность между любыми двумя числами из a₁, a₂, ..., aₖ делится на k, то мы уже имеем два числа с разностью, которая делится на k.

Случай 2: Если разность между любыми двумя числами из a₁, a₂, ..., aₖ не делится на k, то разность между a₁ и aₖ₊₁ будет также не делиться на k. Таким образом, мы получаем два числа с разностью, которая делится на k + 1.

Таким образом, мы доказали, что из любых n + 1 целых чисел можно выбрать два числа, разность которых делится на n. Доказательство проведено по методу математической индукции.