Question

6 - значное число начинается цифрой 5, если эту цифру переставить на последнее место исходного числа, то получится число в 4 раза меньшее первоначального. Найдите исходное число?

Answer 1

х=4(10х+5-5000000)

40х-х=4999995

39х=4999995

х=4999995/39

х=128205

Исходное - 512820

.......................

Answer 2

Пусть исходное шестизначное число будет записано в виде ABCDEF, где A, B, C, D, E и F - цифры числа.

Из условия задачи следует, что число начинается с цифры 5, поэтому A=5.

Если переставить цифру 5 на последнее место, то получится число: BCDEF5.

Согласно условию задачи, это число в 4 раза меньше исходного числа ABCDEF:

BCDEF5 = (1/4) * ABCDEF,

сокращаем на (1/4):

4 * BCDEF5 = ABCDEF.

Таким образом, исходное число ABCDEF удовлетворяет системе уравнений:

A = 5, 4 * BCDEF5 = ABCDEF.

Подставим A=5 во второе уравнение:

4 * BCDEF5 = 5BCDEF.

Разделим обе части равенства на 4:

BCDEF5 = (5/4) * BCDEF.

Так как все цифры числа от 0 до 9, то правая часть равенства (5/4) * BCDEF должна быть целым числом.

У числа, умноженного на (5/4), последняя цифра равна 5, только если оно оканчивается на 0 или 5.

Таким образом, BCDEF должно оканчиваться на 0 или 5.

Попробуем рассмотреть два случая: 1) BCDEF оканчивается на 0. В этом случае BCDEF5 = BCDEF0, и уравнение принимает вид: BCDEF0 = (5/4) * BCDEF. Сокращаем на BCDEF: 5 = 4/4 = 1. Получили противоречие, так как 5 не может быть равно 1. Значит, этот случай не удовлетворяет условию задачи.

2) BCDEF оканчивается на 5. В этом случае BCDEF5 = BCDEF5, и уравнение принимает вид: BCDEF5 = (5/4) * BCDEF. Умножим обе части равенства на 4: 4 * BCDEF5 = 5 * BCDEF. Теперь мы получили линейное уравнение, которое можно решить. Подставим в уравнение BCDEF5 = BCDEF5/10 + 5 * 10^5, где BCDEF5/10 - число без последней цифры, и умножим все члены на 10: 40 * BCDEF5 = 5 * BCDEF + 5 * 10^6. После упрощения получаем: 39 * BCDEF5 = 5 * BCDEF + 5 * 10^6. Сделаем замену переменных: X = BCDEF5, Y = BCDEF/10. Теперь уравнение принимает вид: 39X = 5Y + 5 * 10^6. Для решения этого уравнения нужно, чтобы 39 было взаимно простым с 5. Так как НОД(39, 5) = 1, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида для нахождения решения. Найдем коэффициенты Пелла p и q такие, что 39p + 5q = 1. Воспользуемся расширенным алгоритмом Евклида: 39 1 0 1 0 5 0 1 0 1 4 1 -7 1 -7 1 3 -22 4 -29 1 -3 22 -1 36 Из предпоследней строки получаем p = -22, q = -1. Теперь воспользуемся нашими коэффициентами в уравнении: 39 * (-22) * X + 5 * (-1) * Y = 1. Умножим все члены на 5: -858X - 5Y = 5. Преобразуем это уравнение: -858X = 5Y + 5. Так как исходное число имеет 6 цифр, то Y должно быть трехзначным числом (5 или 0 на конце числа не учитывается). Рассмотрим несколько значений Y и найдем соответствующее X. При Y = 100: -858X = 505. X = 505 / (-858) = -55.4. Так как число должно быть целым, это значение не подходит. При Y = 200: -858X = 510. X = 510 / (-858) = -0.593. Так как число должно быть целым, это значение не подходит. При Y = 300: -858X = 515. X = 515 / (-858) = -0.6007. Так как число должно быть целым, это значение не подходит. При Y = 400: -858X = 520. X = 520 / (-858) = -0.6063. Так как число должно быть целым, это значение не подходит. При Y = 500: -858X = 525. X = 525 / (-858) = -0.6119. Так как число должно быть целым, это значение не подходит. При Y = 600: -858X = 530. X = 530 / (-858) = -0.6175. Так как число должно быть целым, это значение не подходит.

При Y = 700: -858X = 535. X = 535 / (-858) = -0.6231. Так как число должно быть целым, это значение не подходит.

При Y = 800: -858X = 540. X = 540 / (-858) = -0.6287. Так как число должно быть целым, это значение не подходит.

При Y = 900: -858X = 545. X = 545 / (-858) = -0.6343. Так как число должно быть целым, это значение не подходит. При Y = 1000: -858X = 550. X = 550 / (-858) = -0.6399. Так как число должно быть целым, это значение не подходит.

... Продолжая перебирать значения Y, можно заметить, что не существует целого значения X, которое удовлетворяло бы уравнению. Таким образом, второй случай также не подходит.

Подводя итог, не существует шестизначного числа, которое начинается с 5 и при перестановке цифр будет в 4 раза меньше исходного числа.