Question

Найдите производную функции f(x) = x^3+2sin2x

Answer 1

$f(x)=x^3+2\sin2x$

$f'(x)=(x^3)'+(2\sin2x)'\times(2x)'=3x^2+2\cos2x\times2=3x^2+4\cos2x$

Производная от sin2x сложная, сначала ищем производную от синуса, а затем от того, что внутри синуса

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = x^3 + 2sin(2x), мы будем применять правила дифференцирования для каждого слагаемого по отдельности. Давайте начнем с вычисления производных.

1. Производная по x от x^3: f₁(x) = d/dx (x^3) = 3x^2.

2. Производная по x от 2sin(2x): В данном случае мы будем использовать цепное правило (chain rule), так как у нас есть функция sin(2x) внутри другой функции. Цепное правило гласит, что производная сложной функции равна произведению производной внешней функции и производной внутренней функции. Внешняя функция: f₂(u) = 2u, где u = sin(2x). Внутренняя функция: u(x) = sin(2x). Теперь вычислим производные: - Производная по u от f₂(u): f₂'(u) = d/du (2u) = 2. - Производная по x от u(x): u'(x) = d/dx (sin(2x)) = 2cos(2x). Теперь используем цепное правило: f₂'(u) * u'(x) = 2 * 2cos(2x) = 4cos(2x).

Теперь мы можем объединить обе производные и найти производную исходной функции f(x): f'(x) = f₁(x) + f₂(x) = 3x^2 + 4cos(2x).

Таким образом, производная функции f(x) = x^3 + 2sin(2x) равна f'(x) = 3x^2 + 4cos(2x).