Question

Несколько семиклассников решали задачи. учитель не помнит, сколько было детей и кто из них сколько задач решил. зато помнит, что, с одной стороны, каждый решил больше, чем пятую от того, что решили остальные, а с другой стороны, каждый решил меньше, чем треть от того, что решили остальные. сколько могло быть семиклассников? найдите все варианты и докажите, что других нет.

Answer 1

Семиклассников было натуральное число. Пусть это число 5 или больше, тогда найдётся хотя бы один семиклассник, решивший не больше 1/5 задач. Пусть это число 3 или меньше, тогда найдётся хотя бы один семиклассник, решивший не менее 1/3 задач. Значит, семиклассников было меньше 5, но больше 3, значит, было 4 школьника. (Пример - каждый из семиклассников решил по 1/4 от всех задач).

Ответ: 4 семиклассника.

Answer 2

Давайте обозначим количество задач, которое каждый семиклассник решил, буквами A, B, C, D и E, где A > B, A > C, A > D, A > E, B > C, B > D, B > E, C > D и C > E.

Теперь давайте рассмотрим следующие два условия:

1. "Каждый решил больше, чем пятую от того, что решили остальные." Это означает, что каждый семиклассник решил больше, чем 1/5 от суммы задач, которые решили остальные.

2. "Каждый решил меньше, чем треть от того, что решили остальные." Это означает, что каждый семиклассник решил меньше, чем 1/3 от суммы задач, которые решили остальные.

Теперь давайте рассмотрим возможные варианты количества задач, которые каждый семиклассник мог решить. Мы будем рассматривать количество задач, кратное 3 и не превышающее 15 (потому что это наибольшее число задач, которое могли бы решить семиклассники).

1. Если A = 15 (максимальное значение), то B, C, D и E должны решить как минимум 3 задачи каждый (1/5 от 15). Но это невозможно, так как их суммарное количество задач должно быть меньше 15, а не больше.

2. Если A = 12, то B, C, D и E должны решить как минимум 2 задачи каждый (1/5 от 12). Таким образом, B, C, D и E могут решить 2, 3, 4 и 5 задач соответственно. Этот вариант удовлетворяет оба условия.

3. Если A = 9, то B, C, D и E должны решить как минимум 1 задачу каждый (1/5 от 9). Таким образом, B, C, D и E могут решить 1, 2, 3 и 4 задачи соответственно. Этот вариант также удовлетворяет оба условия.

4. Если A = 6, то B, C, D и E могут решить только по 1 задаче каждый (1/5 от 6), но это не удовлетворяет второму условию.

5. Если A = 3 (минимальное значение), то B, C, D и E не могут решить ни одной задачи, и это не удовлетворяет первому условию.

Итак, возможны два варианта: 5 семиклассников с оценками 12, 2, 3, 4 и 5 задач или 5 семиклассников с оценками 9, 1, 2, 3 и 4 задачи. В остальных случаях условия не выполняются.