Question

1)Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если ее высота равна 4 дм,а апофема 8 дм. 2)Отрезок,соединяющий конец диаметра нижнего цилиндра с центром его верхнего основания, равен 2 см и наклонен к плоскости основания под углом 60 градусов. Найдите объем цилиндра. Подробно и с рисунками,пожалуйста

Answer 1

1) Сторона а основания равна:
a = 2*√(8² - 4²) = 2*√(64 - 16) = 2*√48 дм.
Площадь основания So = a² = 192 дм².
Объём V = (1/3)SoH = (1/3)*192*4 =  256 см³.

2) Заданный отрезок. равный 2 - это гипотенуза.
Радиус основания r = 2*сos 60° = 2*(1/2) = 1 см.
Высота цилиндра Н = 2*sin 60° = 2*(√3/2) = √3 см.
Площадь основания So = πr² = π*1² = π см².
Объём цилиндра V = SoH = π√3 см³. 

Answer 2

Конечно, давайте начнем с первого вопроса. Объем правильной четырехугольной пирамиды можно вычислить по формуле:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h,$

где $S_{\text{основания}}$ - площадь основания пирамиды, а $h$ - высота пирамиды.

1. Площадь основания четырехугольной пирамиды равна половине произведения диагоналей четырехугольника, а диагональ можно найти, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном половиной основания, половиной апофемы и боковой стороной четырехугольника:

$d = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + h^2},$

где $a$ - длина основания, $h$ - половина высоты четырехугольной пирамиды.

Подставим значение апофемы $h = 4$ дм и $a = 8$ дм:

$d = \sqrt{\left(\frac{8}{2}\right)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, \text{дм}.$

Теперь можем найти площадь основания:

$S_{\text{основания}} = \frac{1}{2} \times a \times d = \frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{2} = 16\sqrt{2} \, \text{дм}^2.$

Теперь мы можем найти объем пирамиды:

$V = \frac{1}{3} \times S_{\text{основания}} \times h = \frac{1}{3} \times 16\sqrt{2} \times 4 = \frac{64\sqrt{2}}{3} \, \text{дм}^3.$

Переходим ко второму вопросу. Нам нужно найти объем цилиндра. Для этого сначала найдем радиус основания цилиндра. Рассмотрим прямоугольный треугольник, где один катет равен радиусу основания, второй - половина высоты цилиндра, а гипотенуза - отрезок, соединяющий конец диаметра нижнего цилиндра с центром его верхнего основания.

$r = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + (\text{длина отрезка})^2}.$

Подставим значение длины отрезка $\text{длина отрезка} = 2$ см и угла $60^\circ$ (переведем в радианы):

$r = \sqrt{\left(\frac{h}{2}\right)^2 + 2^2} = \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 + 4} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \, \text{см}.$

Теперь можем найти площадь основания цилиндра:

$S_{\text{основания цилиндра}} = \pi \times r^2 = \pi \times (2\sqrt{2})^2 = 8\pi \, \text{см}^2.$