Question

Найти промежутки монотонности функции: y=x^4+8x^3+5

Answer 1

Решение в фотографии

Answer 2

Чтобы найти промежутки монотонности функции y = x^4 + 8x^3 + 5, нужно проанализировать производную функции. Промежутки монотонности будут зависеть от знака производной.

1. Начнем с нахождения производной функции y по x:

y' = 4x^3 + 24x^2

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю:

4x^3 + 24x^2 = 0

Разделим обе стороны на 4x^2:

x^2 + 6 = 0

x^2 = -6

Заметим, что уравнение не имеет действительных корней, так как x^2 не может быть отрицательным числом. Это означает, что у функции нет критических точек в действительных числах.

3. Теперь проанализируем знак производной в различных интервалах:

   a. Если x < 0, то x^2 положительно, и 4x^3 + 24x^2 также положительно. Это означает, что функция монотонно возрастает на интервале x < 0.

   b. Если x > 0, то x^2 положительно, и 4x^3 + 24x^2 также положительно. Это также означает, что функция монотонно возрастает на интервале x > 0.

Итак, функция y = x^4 + 8x^3 + 5 монотонно возрастает на всей числовой прямой R.