Question

Найти дифференциалы первого,второго и третьего порядков функции y=e^t^3

Answer 1

ДАНО
$Y= e^{ t^{3} }$
НАЙТИ
Производные 1-го, 2-го и 3-го порядка.
РЕШЕНИЕ
Первая производная
$Y'(t)= 3*t^2* e^{ t^{3} }$
Вторая производная
$Y"(t)=3*x*(3x^3+2)* e^{ t^{3} }$
Третья производная
$Y"'(t)=3*(9*t^6+18*t^3+2)* e^{ t^{3} }$

Answer 2

Для нахождения дифференциалов первого, второго и третьего порядков функции $y = e^{t^3}$, нам нужно вычислить производные этой функции по переменной $t$. Давайте начнем с первого порядка:

1. Первый порядок (производная): $\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} e^{t^3}$

   Чтобы найти эту производную, мы используем правило цепочки (chain rule):

   $\frac{dy}{dt} = e^{t^3} \cdot \frac{d}{dt}(t^3)$ $\frac{dy}{dt} = e^{t^3} \cdot 3t^2$ $\frac{dy}{dt} = 3t^2e^{t^3}$

2. Второй порядок (вторая производная): $\frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d}{dt}(3t^2e^{t^3})$

   Снова используем правило цепочки:

   $\frac{d^2y}{dt^2} = 3e^{t^3} \cdot \frac{d}{dt}(t^2) + 6t \cdot \frac{d}{dt}(e^{t^3})$

   $\frac{d^2y}{dt^2} = 3e^{t^3} \cdot 2t + 6t \cdot 3t^2e^{t^3}$

   $\frac{d^2y}{dt^2} = 6te^{t^3} + 18t^3e^{t^3}$

3. Третий порядок (третья производная): $\frac{d^3y}{dt^3} = \frac{d}{dt}(6te^{t^3} + 18t^3e^{t^3})$

   Снова используем правило цепочки:

   $\frac{d^3y}{dt^3} = 6e^{t^3} + 6t \cdot \frac{d}{dt}(e^{t^3}) + 18e^{t^3} + 54t^2 \cdot \frac{d}{dt}(e^{t^3})$

   $\frac{d^3y}{dt^3} = 6e^{t^3} + 6t \cdot 3t^2e^{t^3} + 18e^{t^3} + 54t^2 \cdot 3t^2e^{t^3}$