Question

Решить дефиринцал (x^2-2xy)y'=xy-y^2

Answer 1

$(x^2-2xy)y'=xy-y^2\\\\y'= \frac{xy-y^2}{x^2-2xy} \\\\t=\frac{y}{x}\; ,\; y=tx\; ,\; y'=t'x+t\\\\t'x+t= \frac{tx^2-t^2x^2}{x^2-2tx^2} \\\\ t'x+t=\frac{t-t^2}{1-2t} \\\\t'x= \frac{t-t^2}{1-2t}-t\\\\t'x= \frac{t-t^2-t+2t^2}{1-2t}\\\\ \frac{dt}{dx} = \frac{t^2}{x(1-2t)} \\\\\int \frac{(1-2t)\, dt}{t^2} =\int \frac{dx}{x}\\\\\int (t^{-2}-\frac{2}{t})dt=\int \frac{dx}{x}\\\\\frac{t^{-1}}{-1}-2\cdot ln|t|=ln|x|+C\\\\ -\frac{x}{y}-2\cdot ln\left | \frac{y}{x} \right |=ln|x|+C$

Answer 2

Для решения этого дифференциального уравнения в форме, которая позволяет найти разделяющийся множитель, следует переписать его в виде:

(x^2 - 2xy)dy/dx = xy - y^2

Теперь выразим dy/dx:

dy/dx = (xy - y^2) / (x^2 - 2xy)

Сначала попробуем найти разделяющийся множитель. Заметим, что у нас есть общий множитель в числителе и знаменателе, а именно y. Разделим обе стороны на y:

dy/dx = (x - y) / (x^2 - 2xy)

Теперь у нас есть возможность разделить переменные. Перенесем dy на левую сторону и dx на правую сторону:

dy / (x - y) = dx / (x^2 - 2xy)

Теперь мы можем интегрировать обе стороны. Левая сторона может быть решена с помощью метода замены переменных, введя новую переменную z = x - y:

dz = dx - dy

Таким образом, левая сторона уравнения станет:

dy / dz

И уравнение будет выглядеть так:

dy / dz = 1 / (x^2 - 2xy)

Теперь мы можем решить это уравнение:

∫(1 / (x^2 - 2xy)) dx = ∫dy

Для интегрирования левой стороны используем метод частных дробей:

∫(1 / (x^2 - 2xy)) dx = ∫(1 / [x(x - 2y)]) dx

Теперь разложим дробь на части:

∫(1 / [x(x - 2y)]) dx = ∫(A/x + B/(x - 2y)) dx

Найдем значения A и B, разложив на общий знаменатель:

1 = A(x - 2y) + Bx

Раскроем скобки:

1 = Ax - 2Ay + Bx

Теперь сгруппируем по переменным x и y:

(A + B)x - 2Ay = 1

Сравнивая коэффициенты при одинаковых переменных, получаем систему уравнений:

A + B = 0 -2A = 1

Решая эту систему, найдем A и B:

A = -1/2 B = 1/2

Теперь можем провести интегрирование:

∫(1 / [x(x - 2y)]) dx = ∫(-1/2x + 1/2(x - 2y)) dx = (-1/2)∫(1/x) dx + (1/2)∫(1/(x - 2y)) dx

Интегралы можно взять как логарифмические:

(-1/2)ln|x| + (1/2)ln|(x - 2y)| + C1 = ∫dy + C2

Сгруппируем константы:

(1/2)ln|(x - 2y)| - (1/2)ln|x| + C1 - C2 = ∫dy

Объединим константы C1 и C2:

(1/2)ln|(x - 2y)/x| + K = ∫dy

Где K - новая константа.

Теперь возьмем интеграл справа:

(1/2)ln|(x - 2y)/x| + K = y + C3

Собрав все константы в одну:

(1/2)ln|(x - 2y)/x| = y + C

Где C = K - C3.

Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон:

|(x - 2y)/x|^(1/2) = e^(2y + 2C)

Заметим, что |x - 2y| можно записать как |2y - x|:

|(2y - x)/x|^(1/2) = e^(2y + 2C)

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон:

|2y - x|^(1/2) / |x|^(1/2) = e^(2y + 2C)

Теперь уберем абсолютные значения, заметив, что квадратный корень и так положительный:

(2y - x) / x^(1/2) = e^(2y + 2C)

Умножим обе стороны на x^(1/2):

2y - x = x^(1/2) * e^(2y + 2C)

Теперь можно решить уравнение относительно y:

2y = x + x^(1/2) * e^(2y + 2C)

Решение данного уравнения может быть сложным, и оно, возможно, не имеет аналитического выражения в терминах элементарных функций. В этом случае обычно используют численные методы для нахождения численных значений функции y.