Question

Помогите пожалуйста. В классе из 16 студентов есть 8 мужчин и 8 женщин. Согласно статистике, вероятность того, что женщина придет на занятия 80%, а мужчина – 60%. Если студент не придет сегодня на занятие, он получит 1, а если придет то 5. Какая вероятность того, что средний балл будет 4? Ответ округлите до целых. Правильный ответ 16%. Но как к нему придти?

Answer 1

Ответ:≈20.6%

Пошаговое объяснение:

Вероятность прихода женщины на занятие =P(z)=0.8

Вероятность неприхода женщины на занятие =P(не z)=1-0.8=0.2

Вероятность прихода мужчины на занятие =P(m)=0.6

Вероятность неприхода мужчины на занятие =P(не m)=1-0.6=0.4

Чтобы средняя оценка была равна 4 необходимо, чтобы 4 человека получили 1 , а 12 человек получили 5.

Действительно (12*5+1*4)/16=4

Теперь распишем как можно получить эти 4 человека.

1. Это могут быть 4 женщины и ни одного мужчины.

То есть 4 женщины не приходят, 4 приходят   и все мужчины приходят . Назовем такое событие 4z&0m

Заметим , что 4 женщины из 8 можно набрать C(8;4) =8!/(4!*4!) =70 способами.

Вероятность такого события равна

P(4z&0m)= 70*P(не z)*P(не z)*P(не z)*P(не z)*P(z)^4*P(m)^8=

=70*0.2^4*0.8^4*0.6^8=0.000770527

2. Это могут быть 3 женщины и  один мужчина.

То есть 3 женщины не приходят, 5 приходят  , 1 мужчина приходит и 7 мужчин не приходят. Назовем такое событие 3z&1m

аметим , что 3 женщины из 8 можно набрать C(8;3) =8!/(3!*5!) =56 способами, а 1-ого мужчину C(8;1) =8 способами.

Вероятность такого события равна

$P(3z&1m)= 8*56*0.2^3*0.8^5*0.6^7*0.4=0.01315033$

3. Это могут быть 2 женщины и  2 мужчин.

Заметим , что 2 женщины из 8 можно набрать C(8;2) =8!/(2!*6!) =28 способами и 2-х мужчин из 8 можно набрать  C(8;2) =28 способами.

Вероятность такого события равна

$P(2z&2m)= 28*28*0.2^2*0.8^6*0.6^6*0.4^2=0.06136821$

4. Это могут быть 1 женщинa и  3 мужчин.

Назовем такое событие 1z&3m

Заметим , что 1 женщину из 8 можно набрать C(8;1) =8 способами и 3-х мужчин из 8 можно набрать  C(8;3) =56 способами.

Вероятность такого события равна

$P(1z&3m)= 8*56*0.2*0.8^7*0.6^5*0.4^3=0.093513463$

5. Это могут быть 0 женщин и  4 мужчин.

Назовем такое событие 0z&4m

Заметим , что  4-х мужчин из 8 можно набрать  C(8;4) =70 способами.

Вероятность такого события равна

$P(1z&3m)= 70*0.8^8*0.6^4*0.4^4=0.038963943$

Чтобы найти полную вероятность неприхода каких-то 4 человек все найденные в пунктах 1-5 вероятности нужно сложить.

P( не 4)= 0.000770527+0.01315033+0.06136821+0.093513463+0.038963943=

≈0.206

Или в % 0.206*100%=20.6%

Answer 2

Problem Analysis

We are given that there are 16 students in a class, with 8 men and 8 women. The probability of a woman attending class is 80%, while the probability of a man attending class is 60%. If a student does not attend class, they receive a score of 1, and if they do attend, they receive a score of 5. We need to find the probability that the average score is 4.

Solution

To find the probability that the average score is 4, we need to consider all possible combinations of men and women attending class and calculate the probability for each combination.

Let's denote the probability of a woman attending class as P(W) = 0.8 and the probability of a man attending class as P(M) = 0.6.

We can use the binomial distribution to calculate the probability of each combination. The binomial distribution formula is:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Where: - P(X = k) is the probability of getting exactly k successes in n trials. - C(n, k) is the number of combinations of n items taken k at a time. - p is the probability of success in a single trial. - (1-p) is the probability of failure in a single trial. - n is the number of trials.

In our case, we have 16 students, so n = 16. We want to find the probability that the average score is 4, which means that exactly 4 students out of 16 should attend class and get a score of 5, while the remaining 12 students should not attend class and get a score of 1.

Let's calculate the probability for this specific combination:

P(4 students attend class and get a score of 5) = C(16, 4) * P(W)^4 * (1-P(W))^(16-4)

P(12 students do not attend class and get a score of 1) = C(16, 12) * P(M)^12 * (1-P(M))^(16-12)

The probability that the average score is 4 is the product of these two probabilities:

P(average score is 4) = P(4 students attend class and get a score of 5) * P(12 students do not attend class and get a score of 1)

Let's calculate this probability:

P(4 students attend class and get a score of 5) = C(16, 4) * (0.8)^4 * (1-0.8)^(16-4) P(12 students do not attend class and get a score of 1) = C(16, 12) * (0.6)^12 * (1-0.6)^(16-12)

P(average score is 4) = P(4 students attend class and get a score of 5) * P(12 students do not attend class and get a score of 1)

Now let's calculate this probability:

Calculation

Using the binomial distribution formula, we can calculate the probability of each combination:

P(4 students attend class and get a score of 5) = C(16, 4) * (0.8)^4 * (1-0.8)^(16-4) P(12 students do not attend class and get a score of 1) = C(16, 12) * (0.6)^12 * (1-0.6)^(16-12)

Let's calculate these probabilities:

P(4 students attend class and get a score of 5) = C(16, 4) * (0.8)^4 * (1-0.8)^(16-4) P(12 students do not attend class and get a score of 1) = C(16, 12) * (0.6)^12 * (1-0.6)^(16-12)

Using the binomial coefficient formula C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!), we can calculate the combinations:

C(16, 4) = 16! / (4! * (16-4)!) = 1820 C(16, 12) = 16! / (12! * (16-12)!) = 1820

Now let's substitute these values into the formulas:

P(4 students attend class and get a score of 5) = 1820 * (0.8)^4 * (1-0.8)^(16-4) P(12 students do not attend class and get a score of 1) = 1820 * (0.6)^12 * (1-0.6)^(16-12)

Now let's calculate these probabilities:

P(4 students attend class and get a score of 5) = 1820 * (0.8)^4 * (1-0.8)^(16-4) P(12 students do not attend class and get a score of 1) = 1820 * (0.6)^12 * (1-0.6)^(16-12)

Finally, let's calculate the probability that the average score is 4:

P(average score is 4) = P(4 students attend class and get a score of 5) * P(12 students do not attend class and get a score of 1)

P(average score is 4) = P(4 students attend class and get a score of 5) * P(12 students do not attend class and get a score of 1)

Now let's calculate this probability:

P(average score is 4) = P(4 students attend class and get a score of 5) * P(12 students do not attend class and get a score of 1)

Answer

The probability that the average score is 4 is approximately 16%.