Question

Найти производную сложной функции y= sin ln^3 (2x+1)

Answer 1

$f'(x)\cos\left(\ln^{3}\left(2\,x+1\right)\right)\cdot \left(\ln^{3}\left(2\,x+1\right)\right)'=$

$=\cos\left(\ln^{3}\left(2\,x+1\right)\right)\cdot 3\cdot \ln^{2}\left(2\,x+1\right)\cdot \left(\ln\left(2\,x+1\right)\right)'=$

$=3\,\ln^{2}\left(2\,x+1\right)\,\cos\left(\ln^{3}\left(2\,x+1\right)\right)\cdot \dfrac{1}{2\,x+1}\cdot \left(2\,x+1\right)$

$=\dfrac{3\,\ln^{2}\left(2\,x+1\right)\,\cos\left(\ln^{3}\left(2\,x+1\right)\right)}{2\,x+1}\cdot \left(2\cdot 1+0\right)=\dfrac{6\,\ln^{2}\left(2\,x+1\right)\,\cos\left(\ln^{3}\left(2\,x+1\right)\right)}{2\,x+1}$

Answer 2

Чтобы найти производную сложной функции $y = \sin(\ln^3(2x+1))$, применим правило цепочки (chain rule).

Пусть $u = \ln^3(2x+1)$. Тогда

$$\begin{align*} y &= \sin(u) \\ \frac{dy}{dx} &= \cos(u) \cdot \frac{du}{dx}. \end{align*}$$

Теперь найдем производную $u$ по $x$:

$$\begin{align*} u &= \ln^3(2x+1) \\ \frac{du}{dx} &= 3 \cdot \ln^2(2x+1) \cdot \frac{1}{2x+1} \cdot 2. \end{align*}$$

Теперь подставим это обратно в выражение для $\frac{dy}{dx}$:

$$\frac{dy}{dx} = \cos(\ln^3(2x+1)) \cdot 3 \cdot \ln^2(2x+1) \cdot \frac{1}{2x+1} \cdot 2.$$

Таким образом, производная функции $y = \sin(\ln^3(2x+1))$ по $x$ равна

$$\frac{dy}{dx} = 2 \cos(\ln^3(2x+1)) \cdot \ln^2(2x+1) \cdot \frac{1}{2x+1}.$$