Question

Решить уравнение в комплексной плоскости z^3-8i=0

Answer 1

$z^3-8i=z^3+(2i)^3=(z+2i)(z^2-2iz-4)=0\\z+2i=0\Rightarrow z_1=-2i\\z^2-2iz-4=0\Rightarrow z_{2,3}=\frac{2i\pm\sqrt{(2i)^2+16}}{2}=i\pm\sqrt{3}$

Answer 2

Для решения данного уравнения z^3 - 8i = 0 в комплексной плоскости мы можем воспользоваться методом кубического уравнения. Сначала мы выразим z^3:

z^3 = 8i

Теперь найдем корни из этого уравнения. Для этого можно воспользоваться формулой для кубического корня из комплексного числа:

Если z = r(cos(θ) + i*sin(θ)), то корень кубический из z можно найти следующим образом:

z^(1/3) = r^(1/3) [cos(θ/3 + 2πk/3) + i*sin(θ/3 + 2πk/3)], где k = 0, 1, 2.

В данном случае r = 8 и θ = π/2 (так как 8i можно представить в виде 8 * (cos(π/2) + i*sin(π/2))).

Теперь найдем три корня кубического уравнения:

1. Корень при k = 0: z₁ = 8^(1/3) [cos(π/6) + i*sin(π/6)]

2. Корень при k = 1: z₂ = 8^(1/3) [cos(π/6 + 2π/3) + isin(π/6 + 2π/3)] = 8^(1/3) [cos(π/6 + 4π/6) + isin(π/6 + 4π/6)] = 8^(1/3) [cos(5π/6) + i*sin(5π/6)]

3. Корень при k = 2: z₃ = 8^(1/3) [cos(π/6 + 4π/3) + isin(π/6 + 4π/3)] = 8^(1/3) [cos(π/6 + 8π/6) + isin(π/6 + 8π/6)] = 8^(1/3) [cos(13π/6) + i*sin(13π/6)]

Таким образом, у нас есть три корня в комплексной плоскости:

1. z₁ = 8^(1/3) [cos(π/6) + i*sin(π/6)]
2. z₂ = 8^(1/3) [cos(5π/6) + i*sin(5π/6)]
3. z₃ = 8^(1/3) [cos(13π/6) + i*sin(13π/6)]

Эти корни представляют решения уравнения z^3 - 8i = 0 в комплексной плоскости.