Question

Решить интеграл (х-1)/(4x^3+x)

Answer 1

1) 2/4*x^4-5/3*x^3+7/2*x^2-3*x +C 
2) [U=(2x+5); dV=sinx dx; du=2 dx; V=-cosx;]; INT(2х + 5) sinх dх=-(2x+5)*cosX+2*INTcosx dx=2*sinx-(2x+5)*cosX+C 
3) [sin^2 x=(1-cos 2x)/2; cоs^2 х=(1+cos 2x)/2]; INTsin^2 х cоs^2 х dх=1/4*INT(1^2-cos^2 2x)dx=1/4(x-INTcos^2 2x dx)= 
=1/4*x-1/8*INT(1+cos 4x)dx=1/8*x-1/32*sin 4x +C

Answer 2

Для решения данного интеграла:

∫ [(x-1) / (4x^3 + x)] dx

можем воспользоваться методом дробей Лежандра или методом частных производных. В данном случае, я расскажу о методе дробей Лежандра.

Метод дробей Лежандра

1. Раскладываем знаменатель на множители: 4x^3 + x = x(4x^2 + 1)

2. Записываем интеграл в виде суммы простейших дробей: ∫ [(x-1) / (4x^3 + x)] dx = ∫ (A / x) + ∫ (Bx + C) / (4x^2 + 1) dx

3. Находим значения коэффициентов A, B и C: Раскладываем на простейшие дроби: (A / x) + (Bx + C) / (4x^2 + 1) = [(A * (4x^2 + 1)) + (Bx + C) * x] / (x * (4x^2 + 1))

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x: A * (4x^2 + 1) + Bx^2 + Cx = x - 1

Раскрываем скобки: 4Ax^2 + A + Bx^2 + Cx = x - 1

Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x: 4A + B = 0 A + C = 0 -1 = -1

Решаем полученную систему уравнений и находим значения коэффициентов: A = -1/4 B = 1 C = 1/4

4. Подставляем найденные значения обратно в интеграл: ∫ [(x-1) / (4x^3 + x)] dx = ∫ (-1 / (4x)) + ∫ (x + 1) / (4x^2 + 1) dx

5. Разлагаем интеграл на два отдельных интеграла: ∫ (-1 / (4x)) dx + ∫ (x + 1) / (4x^2 + 1) dx

6. Вычисляем каждый интеграл по отдельности: ∫ (-1 / (4x)) dx = (-1/4) * ln|4x| ∫ (x + 1) / (4x^2 + 1) dx = (1/8) * ln|4x^2 + 1|

7. Итоговый ответ: ∫ [(x-1) / (4x^3 + x)] dx = (-1/4) * ln|4x| + (1/8) * ln|4x^2 + 1| + C

Где C - произвольная постоянная.