Question

Найдите углы , под которыми пересекаются кривые y=x^2-2x+1 и y=7+2x-x^2 . Сделать рисунок

Answer 1

Находим точку пересечения решив равенство
y = x² - 2x+1 = -x²+2x+7
Упрощаем 2y = 8 и у = 4   и х1 =. - 1  х2 = +3.
Две точки пересечения А(3,4) и В(-1,4).
"Пересекаются кривые" понимаем как - пересекаются касательные.
Уравнения касательных - через производные функций в точке пересечения А.
Производные в токе А
y1' = 2x-2 = 2*3- 2 = 4 и 
y2' = -2x+2 =- 4
Остается найти угол 
tg α= - 4
tg β = 4.

Answer 2

Для начала найдем точки пересечения кривых. Для этого приравняем уравнения кривых друг к другу:

x^2 - 2x + 1 = 7 + 2x - x^2

2x^2 - 4x - 6 = 0

x^2 - 2x - 3 = 0

Теперь решим квадратное уравнение:

D = (-2)^2 - 4*1*(-3) = 4 + 12 = 16

x1,2 = (2 ± √16)/2*1 = (2 ± 4)/2 = 3 или -1

Таким образом, точки пересечения кривых имеют координаты (3, 7) и (-1, 7).

Теперь найдем углы, под которыми пересекаются кривые. Для этого найдем производные обоих функций:

y' = 2x - 2 (производная функции y=x^2-2x+1) y' = 2 - 2x (производная функции y=7+2x-x^2)

Теперь найдем угол между кривыми в точке пересечения. Для этого воспользуемся формулой для нахождения угла между двумя кривыми:

tg(φ) = |(k1 - k2)/(1 + k1*k2)|, где k1 и k2 - угловые коэффициенты кривых

k1 = 2, k2 = -2

tg(φ) = |(2 - (-2))/(1 + 2*(-2))| = |(2 + 2)/(1 - 4)| = |4/(-3)| = 4/3

φ = arctg(4/3) ≈ 53.13°

Таким образом, угол между кривыми y=x^2-2x+1 и y=7+2x-x^2 в точке пересечения составляет примерно 53.13°.