Question

Знайти суму точок екстремумів функції f(x)=(x-1)^2*(x+2)

Answer 1

Ответ:

Сумма точек экстремумов функции f(x)=(x–1)²·(x+2) равна 0

Пошаговое объяснение:

Перевод: Найти сумму точек экстремумов функции f(x)=(x–1)²·(x+2).

Информация: 1) Минимумом называют точку x₀, в которой значение функции меньше, чем в некоторой окрестности точки x₀. Максимумом называют точку x₀, в которой значение функции больше, чем в некоторой окрестности точки x₀.

2) Точки минимума и максимума функции называются её точками экстремума.

3) В точках экстремумов производная равна нулю. При этом, если производная изменит знак с "+" на "–" в точке, то эта точка максимума, если производная изменит знак с "–" на "+" в точке, то эта точка минимума.

Решение. 1) Вычислим производную от функции

f'(x) = ((x–1)²·(x+2))' = ((x–1)²)'·(x+2)+(x–1)²·(x+2)' = 2·(x–1)·(x+2)+(x–1)²·1 =

= (x–1)·(2·x+4+x–1) = (x–1)·(3·x+3) = 3·(x–1)·(x+1).

2) Найдём корни уравнения f'(x) = 0:

3·(x–1)·(x+1) = 0 ⇒ x₁ = –1, x₂ = 1.

3) Определим знак производной в каждом промежутке (методом интервалов): (–∞; –1), (–1; 1), (1; +∞).

а) пусть x = -2 ∈ (–∞; –1), то f'(–2) = 3·(–2–1)·(–2+1) = 9 > 0;

б) пусть x = 0 ∈ (–1; 1), то f'(0) = 3·(0–1)·(0+1) = –3 < 0;

в) пусть x = 2 ∈ (1; +∞), то f'(2) = 3·(2–1)·(2+1) = 9 > 0.

Производная

• изменила знак с "+" на "–" в точке x₁ = –1, то x₁ = –1 - точка максимума;
• изменила знак с "–" на "+" в точке x₂ = 1, то x₂ = 1 - точка минимума.

Сумма точек экстремумов функции f(x)=(x–1)²·(x+2) равна

x₁ + x₂ = –1+1 = 0.

#SPJ1

Answer 2

Для знаходження точок екстремумів функції f(x) = (x - 1)^2 * (x + 2), спершу потрібно знайти її похідну та знайти значення x, де похідна дорівнює нулю. Точки, в яких похідна дорівнює нулю, є потенційними точками екстремумів.

1. Знайдемо похідну функції f(x): f'(x) = d/dx [(x - 1)^2 * (x + 2)]

Для обчислення похідної застосуємо правило добутку та ланцюгового правила:

f'(x) = (2 * (x - 1) * (1) * (x + 2)) + ((x - 1)^2 * (1)) f'(x) = 2x(x - 1) + (x - 1)^2

2. Знайдемо значення x, для яких f'(x) = 0:

2x(x - 1) + (x - 1)^2 = 0

Тепер розв'яжемо це рівняння для x:

2x(x - 1) + (x - 1)^2 = 0 x(x - 1)(2 + (x - 1)) = 0 x(x - 1)(x + 1) = 0

Тут x = 0, x = 1 і x = -1 є коренями цього рівняння.

3. Далі перевіримо значення похідної на інтервалах між цими коренями і поза ними, щоб визначити характер точок екстремуму.

• Інтервал (-безмежність, -1): Виберемо x = -2 (наприклад): f'(-2) = 2*(-2)(-2-1) + (-2-1)^2 = 22*(-3) + (-3)^2 = -12 + 9 = -3 Отже, на цьому інтервалі f'(x) < 0.

• Інтервал (-1, 0): Виберемо x = -0.5 (наприклад): f'(-0.5) = 2*(-0.5)(-0.5-1) + (-0.5-1)^2 = 2(-0.5)*(-1.5) + (-1.5)^2 = 1.5 + 2.25 = 3.75 Отже, на цьому інтервалі f'(x) > 0.

• Інтервал (0, 1): Виберемо x = 0.5 (наприклад): f'(0.5) = 20.5(0.5-1) + (0.5-1)^2 = 0.5*(-0.5) + (-0.5)^2 = -0.25 + 0.25 = 0 Отже, на цьому інтервалі f'(x) = 0.

• Інтервал (1, +безмежність): Виберемо x = 2 (наприклад): f'(2) = 22(2-1) + (2-1)^2 = 4*1 + 1 = 5 Отже, на цьому інтервалі f'(x) > 0.

Отже, ми маємо три точки, де похідна f'(x) дорівнює нулю (x = -1, x = 0 і x = 1), і зміна знаку похідної показує, що:

• x = -1 є точкою локального максимуму.
• x = 0 є точкою локального мінімуму.
• x = 1 є також точкою локального максимуму.

Таким чином, сума точок екстремуму функції f(x) дорівнює -1 + 0 + 1 = 0.