Question

Розвязати диференційне рівняння . y"-3 (y'/x)=x

Answer 1

Для розв'язання даного диференційного рівняння, спочатку введемо заміну змінної. Позначимо y' = dy/dx і замінимо цю змінну новою змінною v. Тоді y'' = d^2y/dx^2.

Після введення заміни, початкове диференційне рівняння можна переписати в наступному вигляді:

v' - 3(v/x) = x

Тепер ми маємо лінійне диференційне рівняння першого порядку, яке можна вирішити за допомогою методу інтегруючого множника. Застосуємо цей метод до нашого рівняння.

Множимо обидві частини рівняння на x^3, щоб отримати рівняння з однаковими степенями:

x^3v' - 3x^2v = x^4

Тепер знайдемо інтегруючий множник. Для цього візьмемо похідну виразу x^3v відносно x:

d/dx (x^3v) = 3x^2v + x^3v'

Порівнюючи це з рівнянням, бачимо, що множником буде x^2.

Помножимо обидві частини рівняння на x^2:

x^5v' - 3x^4v = x^6

Тепер знайдемо загальний розв'язок цього лінійного диференційного рівняння. Він може бути знайдений шляхом інтегрування обох частин рівняння:

∫ (x^5v' - 3x^4v) dx = ∫ x^6 dx

Для лівої частини застосуємо формулу інтегрування за частинами:

∫ (x^5v' - 3x^4v) dx = x^5v - ∫ (5x^4v - 5x^4v') dx

Тепер розв'яжемо інтеграл:

x^5v - 5∫ (x^4v - x^4v') dx = ∫ x^6 dx

∫ x^6 dx = (1/7) x^7 + C1,

де C1 - довільна константа.

Тепер розглянемо інтеграл ∫ (x^4v - x^4v') dx:

∫ (x^4v - x^4v') dx = ∫ (x^4v) dx - ∫ (x^4v') dx

Перший інтеграл можна виразити як:

∫ (x^4v) dx = ∫ (x^4) dv = (1/5) x^5v + C2,

де C2 - довільна константа.

Другий інтеграл можна виразити як:

∫ (x^4v') dx = ∫ (x^4) dv = (1/5) x^5v + C3,

де C3 - довільна константа.

Замінюємо значення інтегралів у початковому рівнянні:

x^5v - 5((1/5) x^5v + C2 - (1/5) x^5v + C3) = (1/7) x^7 + C1

Спрощуємо вираз:

x^5v - x^5v + 5(C3 - C2) = (1/7) x^7 + C1

5(C3 - C2) = (1/7) x^7 + C1

C4 = (1/7) x^7 + C1,

де C4 = 5(C3 - C2) - довільна константа.

Отже, загальний розв'язок диференційного рівняння є:

x^5v = (1/7) x^7 + C1 + C4

Для відновлення розв'язку у формі функції y(x), ми використовуємо заміну v = y':

x^5y' = (1/7) x^7 + C1 + C4

Тепер інтегруємо обидві частини рівняння відносно x:

∫ x^5y' dx = ∫ ((1/7) x^7 + C1 + C4) dx

(1/6) x^6y = (1/56) x^8 + C1x + C4x + C5

x^6y = (1/8) x^8 + (1/6) C1x^7 + (1/6) C4x^6 + C5x,

де C5 - довільна константа.

Остаточно отримуємо розв'язок диференційного рівняння у формі:

y(x) = (1/8) x^2 + (1/6) C1x + (1/6) C4x^5 + C5/x^6,

де C1, C4 і C5 - довільні константи.

Answer 2

Давайте розв'яжемо це диференційне рівняння другого порядку:

y" - 3(y'/x) = x

Для початку, зробимо підстановку, щоб спростити це рівняння. Позначимо y' через dy/dx:

y" - 3(dy/dx)/x = x

Тепер, спростимо це рівняння, помноживши обидві сторони на x:

xy" - 3dy/dx = x^2

Тепер введемо нову змінну, наприклад, u = dy/dx. Тоді отримаємо:

xu' - 3u = x^2

Це диференційне рівняння першого порядку. Давайте розв'яжемо його. Спочатку виділимо x на лівій стороні:

x(u' - 3u) = x^2

Тепер поділимо обидві сторони на x:

u' - 3u = x

Тепер це лінійне диференційне рівняння першого порядку. Для розв'язання його, ми можемо використовувати інтегруючий множник. Інтегруючий множник - це експонента від інтегралу коефіцієнта при u:

Інтеграл(3dx) = 3x

Тепер помножимо обидві сторони рівняння на інтегральний множник:

e^(-3x)(u' - 3u) = e^(-3x)x

Зараз ліва сторона цього рівняння - це результат диференціювання e^(-3x)u за змінною x, тобто (e^(-3x)u)', тому ми можемо інтегрувати обидві сторони:

∫(e^(-3x)u)' dx = ∫e^(-3x)x dx

e^(-3x)u = ∫e^(-3x)x dx

Тепер інтегруємо праву сторону:

∫e^(-3x)x dx = -e^(-3x)(x/3 - 1/9) + C, де C - константа інтегрування.

Отже, права сторона рівняння дорівнює:

-e^(-3x)(x/3 - 1/9) + C

Тепер розв'яжемо для u:

e^(-3x)u = -e^(-3x)(x/3 - 1/9) + C

Зведемо e^(-3x) до одного боку:

u = -(x/3 - 1/9) + Ce^(3x)

Зараз ми розв'язали диференційне рівняння і знайшли загальний розв'язок для функції u. Але ми пам'ятаємо, що ми ввели змінну u = dy/dx, тому тепер ми повинні інтегрувати це вираз щодо x, щоб отримати функцію y:

dy/dx = -(x/3 - 1/9) + Ce^(3x)

Зараз інтегруємо вираз відносно x:

y(x) = ∫[-(x/3 - 1/9) + Ce^(3x)] dx

y(x) = -x^2/6 + x/9 + C1e^(3x) + C2

де C1 і C2 - довільні константи інтегрування. Це є загальним розв'язком даного диференційного рівняння.