Question

Решите уравнение (x-1)/x(x-3)-4/(x^2-9)=2/x(x+3).

Answer 1

Пошаговое объяснение:см. во вложении

Answer 2

Найдём ОДЗ и перенесём дробь из правой части в левую:

$\displaystyle \frac{x-1}{x(x-3)} - \frac{4}{x^2-9} = \frac{2}{x(x+3)} \\\\ \displaystyle ODZ: \;\; x\neq0 \; , \; x\neq3 \; , \; x\neq-3 \\\\ \displaystyle \frac{x-1}{x(x-3)} - \frac{4}{x^2-9} - \frac{2}{x(x+3)} = 0$

На множители не разложен только знаменатель второй дроби, раскладываем:

$\displaystyle \frac{x-1}{x(x-3)} - \frac{4}{(x-3)(x+3)} - \frac{2}{x(x+3)} = 0$

Записываем все числители над общим знаменателем:

$\displaystyle \frac{(x+3)(x-1)-4x-2(x-3)}{x(x-3)(x+3)}=0$

Раскрываем скобки в числителе:

$\displaystyle \frac{x^2-x+3x-3-4x-2x+6}{x(x-3)(x+3)}=0$

Приводим подобные слагаемые в числителе:

$\displaystyle \frac{x^2-4x+3}{x(x-3)(x+3)}=0$

Заменим $-4x$ в числителе на $-x-3x$:

$\displaystyle \frac{x^2-x-3x+3}{x(x-3)(x+3)}=0$

Выносим $x$ и $-3$ за скобки в числителе:

$\displaystyle \frac{x(x-1)-3(x-1)}{x(x-3)(x+3)}=0$

Выносим $(x-1)$ за скобки в числителе:

$\displaystyle \frac{(x-1)(x-3)}{x(x-3)(x+3)}=0$

Дробь сократимая, сокращаем:

$\displaystyle \frac{x-1}{x(x+3)}=0$

Дальше находим корень уравнения. Значение дроби может быть равно нулю только тогда, когда числитель равен нулю.

$\displaystyle \frac{x-1}{x(x+3)}=0 \;\; \Rightarrow \;\; x-1=0 \;\; \Rightarrow \;\; x=1$

Корень соответствует ОДЗ.

Ответ: x = 1.

Answer 3

Для решения данного уравнения, начнем с упрощения выражений в нем. Вначале упростим дроби:

1. (x-1)/[x(x-3)] - 4/[(x+3)(x-3)] = 2/(x(x+3))

Теперь найдем общий знаменатель для всех дробей, чтобы объединить их:

Общий знаменатель: x(x-3)(x+3)

Теперь приведем каждую дробь к общему знаменателю:

1. (x-1)(x+3)/[x(x-3)(x+3)] - 4/[(x+3)(x-3)] = 2/(x(x+3))

Далее умножим каждое слагаемое на общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

1. (x-1)(x+3) - 4x = 2x(x-1)

Раскроем скобки:

x^2 + 3x - x - 3 - 4x = 2x^2 - 2x

Теперь сгруппируем слагаемые:

x^2 + 3x - x - 4x - 2x^2 + 2x - 3 = 0

Сократим подобные члены:

x^2 - 2x - 3 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение. Для его решения, можно использовать квадратное уравнение:

x^2 - 2x - 3 = 0

Для нахождения корней, используем формулу:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a

Где a = 1, b = -2 и c = -3. Подставляем значения:

x = (2 ± √((-2)^2 - 4(1)(-3))) / (2(1))

x = (2 ± √(4 + 12)) / 2

x = (2 ± √16) / 2

x = (2 ± 4) / 2

Теперь находим два значения x:

1. x = (2 + 4) / 2 = 6 / 2 = 3
2. x = (2 - 4) / 2 = -2 / 2 = -1

Итак, уравнение имеет два решения: x = 3 и x = -1.