Question

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка (1-x^2)*y''=xy'

Answer 1

$(1-x^2)*y''=xy'\\\\(-x^2+1)*\frac{d^2y}{dx^2}=x\frac{dy}{dx}\\\\ \frac{dy}{dx}=t=>\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dt}{dx}\\\\ \frac{dt}{dx}=\frac{xt}{x^2-1} \ \ \mid \div t \\\\\frac{\frac{dt}{dx} }{t}=-\frac{x}{x^2-1}\\\\ \int \frac{\frac{dt}{dx} }{t}dx=\int-\frac{x}{x^2-1}dx\\\\ln(t)=-\frac{1}{2}ln(x^2-1)+C_1\\\\t=\frac{e^{C_1}}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{C_1}{\sqrt{x^2-1}}\\\\\frac{dy}{dx}=t=>\frac{dy}{dx}=\frac{C_1}{\sqrt{x^2-1}}=\int\frac{C_1}{\sqrt{x^2-1}}dx=C_1*ln(x+\sqrt{x^2-1})+C_2$

Answer 2

Чтобы найти общее решение данного линейного дифференциального уравнения второго порядка, следует воспользоваться методом замены. Давайте начнем.

Исходное уравнение:

(1 - x^2) * y'' = xy'

Сначала сделаем замену переменных. Пусть u = 1 - x^2. Тогда производные y' и y'' можно выразить следующим образом:

y' = u * y'_u y'' = u * y''_u + y'_u

Теперь подставим эти выражения в исходное уравнение:

u * (u * y''_u + y'_u) = x * (u * y'_u)

Раскроем скобки:

u^2 * y''_u + u * y'_u = x * u * y'_u

Теперь выразим y''_u и y'_u:

y''_u + (1/x) * y'_u = 0

Это уравнение уже имеет вид, который можно решить стандартными методами. Оно является линейным уравнением второго порядка с переменными коэффициентами.

Чтобы найти его общее решение, предположим, что y'_u = v, затем заменим y''_u:

y''_u = v' = - (1/x) * v

Это уравнение можно решить методом разделяющих переменных:

dv/dv = - (1/x) dx

Интегрируя обе стороны, получим:

ln|v| = -ln|x| + C1

где C1 - произвольная постоянная интеграции.

Теперь найдем выражение для v:

v = C2 / |x|

где C2 = exp(C1) - еще одна произвольная постоянная.

Теперь, когда у нас есть выражение для v, мы можем вернуться к y'_u и выразить y_u:

y'_u = C2 / |x|

Теперь снова интегрируем, чтобы найти y_u:

y_u = C2 * ln|x| + C3

Теперь мы вернемся к исходным переменным:

y = C2 * ln|x| + C3

Таким образом, общее решение исходного линейного дифференциального уравнения второго порядка:

(1 - x^2) * y'' = xy'

это:

y = C2 * ln|x| + C3, где C2 и C3 - произвольные постоянные.