Question

Найти общее решение дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка. x(y'' + 1)+y'=0

Answer 1

$\displaystyle x(y''+1)+y'=0\\y'=z;y''=z'\\x(z'+1)+z=0\\xz'+z=-x\\\frac{xdz}{dx}+z=0\\\frac{xdz}{dx}=-z\\\frac{dz}{z}=-\frac{dx}{x}\\ln|z|=-ln|x|+C(x)\\z=\frac{C(x)}{x}\\z'=\frac{C'(x)}{x}-\frac{C(x)}{x^2}\\C'(x)-\frac{C(x)}{x}+\frac{C(x)}{x}=-x\\C'(x)=-x\\C(x)=-\frac{x^2}{2}+C_1\\z=-\frac{x}{2}+\frac{C_1}{x}=y'\\y=-\frac{x^2}{4}+C_1ln|x|+C_2$

Answer 2

Для нахождения общего решения дифференциального уравнения, допускающего понижение порядка, мы можем воспользоваться методом введения новой переменной. Давайте введем новую переменную z = y'. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:

x(z' + 1) + z = 0

Теперь у нас есть дифференциальное уравнение первого порядка относительно переменной z. Давайте решим его.

Сначала перепишем уравнение в следующей форме:

z' + 1 + (1/x)z = 0

Теперь это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, которое можно решить с помощью метода интегрирующего множителя. Мы умножим обе стороны на множитель μ(x):

μ(x)(z' + 1) + μ(x)(1/x)z = 0

Множитель μ(x) выбирается так, чтобы левая часть стала полным дифференциалом. Мы хотим, чтобы выполнялось следующее:

μ'(x) = (1/x)μ(x)

Решение этого уравнения - μ(x) = x. Теперь умножим исходное уравнение на x:

x^2(z' + 1) + xz = 0

Теперь это уравнение можно решить, как линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

z' + 1 + xz = 0

z' + xz = -1

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и его можно решить с помощью метода интегрирования. Сначала выразим z:

z' = -xz - 1

Разделим обе стороны на (-x - 1):

z' / (-x - 1) = 1

Теперь проинтегрируем обе стороны:

∫(1 / (-x - 1)) dx = ∫1 dz

ln|-x - 1| + C1 = z + C2

Теперь заменяем z обратно на y':

ln|-x - 1| + C1 = y' + C2

y' = ln|-x - 1| + C1 - C2

Теперь интегрируем y':

y = ∫(ln|-x - 1| + C1 - C2) dx

y = ∫ln|-x - 1| dx + C1x - C2x + C3

Итак, это - общее решение исходного дифференциального уравнения:

y = ∫ln|-x - 1| dx + C1x - C2x + C3

Здесь C1, C2 и C3 - произвольные постоянные.