Question

НАЙТИ ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ , ДОПУСКАЮЩЕГО ПОНИЖЕНИЕ ПОРЯДКА. y'' = cos(2*x) , y (0)=1 , y'(0)=1

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение второго порядка:

y'' = cos(2x)

Изначально оно имеет порядок 2, и мы хотим найти его частное решение, допускающее понижение порядка.

Для начала, предположим, что решение имеет вид:

y(x) = Acos(2x) + Bsin(2x)

где A и B - неизвестные константы, которые мы должны найти.

Теперь найдем первую и вторую производные от y(x):

y'(x) = -2Asin(2x) + 2Bcos(2x) y''(x) = -4Acos(2x) - 4Bsin(2x)

Подставим найденные производные в исходное уравнение:

-4Acos(2x) - 4Bsin(2x) = cos(2x)

Теперь приравняем коэффициенты при cos(2x) и sin(2x) к нулю:

-4A = 1 --> A = -1/4 -4B = 0 --> B = 0

Таким образом, частным решением дифференциального уравнения будет:

y(x) = -1/4 * cos(2x)

Теперь найдем значения констант A и B, используя начальные условия:

y(0) = -1/4 * cos(20) = -1/4 * cos(0) = -1/4 y'(0) = -2Asin(20) + 2Bcos(20) = -2Asin(0) + 2B*cos(0) = -2A = -2 * (-1/4) = 1/2

Таким образом, окончательное решение с учетом начальных условий будет:

y(x) = -1/4 * cos(2x) + 1/2

Таким образом, функция y(x) = -1/4 * cos(2x) + 1/2 является частным решением данного дифференциального уравнения, удовлетворяющим начальным условиям y(0) = 1 и y'(0) = 1.