Question

Найдите неопределенные интегралы {e^2x dx/e^4x - 9 Помогите решить Смотреть ответ NNNLLL54 NNNLLL54

Answer 1

Для нахождения неопределенных интегралов функций e^(2x)dx и dx/(e^(4x)-9), мы будем использовать соответствующие методы интегрирования.

1. Неопределенный интеграл функции e^(2x)dx: В данном случае, функция e^(2x)dx представляет собой производную функции (1/2)e^(2x) (по правилу дифференцирования экспоненты). Таким образом, неопределенным интегралом будет функция (1/2)e^(2x) + C, где C - произвольная постоянная.

2. Неопределенный интеграл функции dx/(e^(4x)-9): Для решения данного интеграла, мы можем сделать замену переменной. Пусть u = e^(2x), тогда du/dx = 2e^(2x), а dx = (1/2)e^(-2x)du. Заменяя значение dx и переменную x в данном интеграле, получаем:

∫(dx/(e^(4x)-9)) = (1/2)∫(e^(-2x)du/(u^2-9)) = (1/2)∫(e^(-2x)du/((u-3)(u+3)))

Далее, мы можем разложить дробь на простые слагаемые, используя метод частных дробей. После разложения, мы получим:

(1/2)∫(A/(u-3) + B/(u+3))du,

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны определить. Затем, мы можем интегрировать каждую дробь отдельно:

(1/2)(A∫(du/(u-3)) + B∫(du/(u+3))),

Интеграл ∫(du/(u-3)) представляет собой логарифмическую функцию ln|u-3|, а интеграл ∫(du/(u+3)) - ln|u+3|. Итак, неопределенным интегралом функции dx/(e^(4x)-9) будет:

(1/2)(Aln|u-3| + Bln|u+3|) + C, где A, B и C - произвольные постоянные.

Далее, заменяя обратно переменную u на e^(2x), получаем: (1/2)(Aln|e^(2x)-3| + Bln|e^(2x)+3|) + C, или более компактно:

(1/2)(Aln(e^(2x)-3) + Bln(e^(2x)+3)) + C.

Таким образом, мы получаем общий вид неопределенных интегралов функций e^(2x)dx и dx/(e^(4x)-9).