Question

√(x^2-6x+18)+√(x^2-6x+9)=9

Answer 1

Ответ: x=-1; 7

Пошаговое объяснение: Упростим каждый член. Разложим на множители методом выделения полного квадрата. Записываем 9 как $3^2$.

$\sqrt{x^2-6x+18}+\sqrt{x^2-6x+3^2} =9$

Проверим средний член, перемножив 2ab и сравнивая результат со средним членом исходного выражения.

$2ab=2\times x\times -3$

Упростим.

$2ab=-6x$

Разложим на множители методом выделения полного квадрата $a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$, где $a=x$ и $b=-3$.

$\sqrt{x^2-6x+18}+\sqrt{(x-3)^2}=9$

Вынесем множители из под корня, полагая, что они являются положительными вещественными числами.

$\sqrt{x^2-6x+18}+x-3=9$

Построим график каждой части уравнения. Решением является значение X точки пересечения.

$x=-1;7$

Answer 2

To solve the given equation $\sqrt{x^2 - 6x + 18} + \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 9$, we can start by simplifying the radicals under the square roots. Notice that $x^2 - 6x + 9$ is a perfect square trinomial, which can be factored as $(x - 3)^2$. However, $x^2 - 6x + 18$ is not a perfect square trinomial, so we can complete the square to factor it.

$x^2 - 6x + 18$ can be written as $x^2 - 6x + 9 + 9$:

$= (x - 3)^2 + 9$.

So, the given equation becomes:

$\sqrt{(x - 3)^2 + 9} + \sqrt{(x - 3)^2} = 9$.

Let $u = (x - 3)^2$, then the equation becomes:

$\sqrt{u + 9} + \sqrt{u} = 9$.

Now, square both sides to eliminate the square roots:

$(\sqrt{u + 9} + \sqrt{u})^2 = 9^2$.

Expanding the left side:

$u + 9 + 2\sqrt{u(u + 9)} + u = 81$.

Simplifying the equation:

$2u + 9 + 2\sqrt{u(u + 9)} = 81$.

Isolate the square root term:

$2\sqrt{u(u + 9)} = 81 - 2u - 9$.

Square both sides again to eliminate the remaining square root:

$4u(u + 9) = (72 - 2u)^2$.

Expand and simplify:

$4u^2 + 36u = 4u^2 - 288u + 5184$.

Rearrange and simplify the equation:

$324u - 5184 = 0$.

Now, solve for $u$:

$324u = 5184$,

$u = 16$.

Recall that $u = (x - 3)^2$, so:

$(x - 3)^2 = 16$.

Taking the square root of both sides:

$x - 3 = \pm 4$.

This results in two possible values for $x$:

1. When $x - 3 = 4$, $x = 7$.

2. When $x - 3 = -4$, $x = -1$.

Therefore, the solutions to the given equation are $x = 7$ and $x = -1$.