Question

(2-2i)^5/(√3-3i)^7 выполнить действие над комплексными числами в триганометрической форме

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Сначала переведем числа в тригонометрическую форму.

1) 2 - 2i = 2√2*(1/√2 - 1/√2*i) = √8*(cos 7Π/4 + i*sin 7Π/4)

(2 - 2i)^5 = (2√2)^5*(cos 35Π/4 + i*sin 35Π/4) = 32√32*(-1/√2 + i*1/√2)

2) √3 - 3i = √12*(1/2 - √3/2*i) = 2√3*(cos (-Π/3) + i*sin (-Π/3))

(√3 - 3i)^7 = (2√3)^7*(cos (-7Π/3) + i*sin (-7Π/3)) = 128√2187*(1/2 - i*√3/2)

3) Делим вынесенные части (радиусы).

32√32 / (128√2187) = 32*4√2 / (128*27√3) = √2/(27√3) = √6/81

4) Делим тригонометрическую часть. Умножаем на сопряженное.

(-1/√2 + i*1/√2)(1/2 + i*√3/2) / ((1/2 - i*√3/2)*(1/2 + i*√3/2)) =

= (-1/2√2 + i*1/2√2 - i*√3/2√2 - √3/2√2) / (1/4 + 3/4) = (-√3-1)/(2√2) + i*(-√3+1)/(2√2)

Получаем.

√6/81*1/2√2*((-√3-1) + i*(-√3+1)) = √3/162*((-√3-1) + i*(-√3+1))

Answer 2

Для выполнения данного действия над комплексными числами в тригонометрической форме, нам нужно сначала выразить каждое из чисел в виде модуля и аргумента. Затем мы возводим числа в указанные степени и умножаем результаты.

Давайте начнем с числа $2 - 2i$:

Модуль ($r_1$) этого числа: $r_1 = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

Аргумент ($\theta_1$) этого числа (используя арктангенс): $\theta_1 = \arctan\left(\frac{-2}{2}\right) = \arctan(-1) = -\frac{\pi}{4}$

Теперь рассмотрим число $\sqrt{3} - 3i$:

Модуль ($r_2$) этого числа: $r_2 = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-3)^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Аргумент ($\theta_2$) этого числа (используя арктангенс): $\theta_2 = \arctan\left(\frac{-3}{\sqrt{3}}\right) = \arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$

Теперь, когда у нас есть модуль и аргумент для каждого числа, мы можем выразить их в тригонометрической форме:

$(2 - 2i) = 2\sqrt{2} \cdot e^{-i\frac{\pi}{4}}$

$(\sqrt{3} - 3i) = 2\sqrt{3} \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}}$

Теперь возводим каждое из чисел в указанную степень:

$(2 - 2i)^5 = (2\sqrt{2} \cdot e^{-i\frac{\pi}{4}})^5 = (2\sqrt{2})^5 \cdot e^{-i\frac{5\pi}{4}}$

$(\sqrt{3} - 3i)^7 = (2\sqrt{3} \cdot e^{-i\frac{\pi}{3}})^7 = (2\sqrt{3})^7 \cdot e^{-i\frac{7\pi}{3}}$