Question

Z1= n+3i, z2=5 - ni. 1. Выполните над ними операции сложения, вычитание, умножения и деления 2. Переведите данные числа в тригонометрическую форму, выполните операции над комплексными числами в тригонометрической форме 3. Переведите данные числа в показательную форму, выполните операции над комплексными числами в показательной форме

Answer 1

я написал решение на 1. на прикреплённом листочке ===>>

Answer 2

Давайте начнем с выполнения операций над комплексными числами z1 и z2:

1. Операции сложения, вычитания, умножения и деления:

   a) Сложение: $z1 + z2 = (n + 3i) + (5 - ni) = (n + 5) + (3i - ni) = (n + 5) + (3 - n)i$

   б) Вычитание: $z1 - z2 = (n + 3i) - (5 - ni) = (n - 5) + (3i + ni) = (n - 5) + (3 + n)i$

   в) Умножение: $z1 * z2 = (n + 3i) * (5 - ni) = 5n - n^2 + 15i - 3ni = (5n - n^2) + (15 - 3n)i$

   г) Деление: $\frac{z1}{z2} = \frac{n + 3i}{5 - ni}$

   Чтобы выполнить деление, давайте умножим числитель и знаменатель на сопряженное комплексное число знаменателя, чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе:

   $\frac{z1}{z2} = \frac{n + 3i}{5 - ni} \cdot \frac{5 + ni}{5 + ni}$

   $\frac{z1}{z2} = \frac{(n + 3i)(5 + ni)}{5^2 - (ni)^2} = \frac{(n + 3i)(5 + ni)}{25 + n^2} = \frac{5n + n^2i + 15i + 3ni^2}{25 + n^2}$

   Теперь заменим $i^2$ на $-1$:

   $\frac{z1}{z2} = \frac{5n - n^2 + (15 + 3n)i}{25 + n^2}$

2. Перевод в тригонометрическую форму: Тригонометрическая форма комплексного числа представляется в виде $z = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))$, где:

   • $r$ - модуль комплексного числа
   • $\theta$ - аргумент комплексного числа

   Для вычисления модуля r и аргумента θ используются следующие формулы:

   $r = |z| = \sqrt{Re(z)^2 + Im(z)^2}$ $\theta = \arg(z) = \arctan\left(\frac{Im(z)}{Re(z)}\right)$

   Для числа z1: $|z1| = \sqrt{n^2 + 9}$ $\arg(z1) = \arctan\left(\frac{3}{n}\right)$

   Для числа z2: $|z2| = \sqrt{5^2 + (-n)^2} = \sqrt{25 + n^2}$ $\arg(z2) = \arctan\left(\frac{-n}{5}\right)$

3. Перевод в показательную форму: Показательная форма комплексного числа представляется в виде $z = re^{i\theta}$